Tìm $ x,y $ nguyên sao cho $ \frac{x^2 + 1}{y^2} + 4 $ là số chính phương
#2
Đã gửi 16-05-2019 - 00:19
Kmttq g/s x,y > 0
$\frac{x^{2}+1}{y^{2}}+4 = k^{2}$ ( g/s k>0)
$<=> x^{2}+1+4y^{2}=k^{2}y^{2}$ => k>2 nếu k<2 => VT>VP
$<=> y^{2}k^{2}-(x+2y)^{2}=1-4xy => y^{2}k^2 - (x+2y)^{2} < 0$ (1-4xy <0)
$<=> (yk-x-2y)(yk+x+2y) < 0 $
<=>yk-x-2y < 0
=> x> y(k-2)
tương tự x<y(k+2)
TH1 : x = y.(k-2) + m (m<=y)
$k^{2} = \frac{x^{2}+1}{y^{2}}+ 4 = k^{2} - 4k + 4 + \frac{m^{2}+2my(k-2)+1}{y^{2}} + 4$
$<=> 4k = 8 + \frac{m^{2}+ 2my(k-2)+1}{y{2}}$ <= 8+1+ 2(k-2) + $\frac{1}{y^{2}}$
$4k \leq 9 + 2k - 4 + \frac{1}{y^{2}}$
$<=> 2k \leq 5+\frac{1}{y^{2}} \leq 5+1 = 6$
=> k <= 3 mà k > 2
=> k=3 => x=2,-2 ; y=1,-1
các TH còn lại biến đổi ra vô nghiệm thì phải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 16-05-2019 - 01:02
- Lao Hac, Sin99 và Love is color primrose thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số chính phương, pt no nguyên
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh