Chủ đề này có 6 trả lời

[Khoa Linh]

   TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứ nhất

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 

 

Câu 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3$ là ước của $3^n-1$.

 

Câu 2. Với $k$ là số nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=k$ và $u_{n+1}=\dfrac{(n+2)u_n-2k+4}{n}$, với mọi $n \in  \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho trong dãy số $(u_n)$ có đúng $2019$ số hạng là số chính phương. 

 

Câu 3. Cho tam giác  $ABC$, giả sử có điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB$.  $PB$, $PC$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AC$ tại $M$. Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại  $N$. 

        1. Chứng minh rằng số đo góc $\angle MPN$ không đổi khi $D$ thay đổi. 

        2. Gọi giao của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $MN$ là $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là phân giác của góc  $\angle MPN$. 

 

Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, $b$, $c$ ta luôn có 

$\dfrac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2} \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9}{2}$

 

--------HẾT NGÀY 1--------

 

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứ hai

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 

 

Câu 5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho

$P(x^3+x^2+1)=P(x+2)P(x^2+1)$

 

Câu 6. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho $AD$ là đường kính, đồng thời $EA=ED$. Dựng ra ngoài ngũ giác $ABCDE$, tam giác $BCF$ vuông cân tại $F$, và hai hình vuông $ABMN$, $CDPQ$. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm $MQ$ và $OS$. Chứng minh rằng $RT \perp EF$. 

 

Câu 7. Một khu vực quốc tế có $512$ sân bay. Mỗi sân bay đều có thể bay trực tiếp tới ít nhất $5$ sân bay khác. Biết rằng ta có thể đi từ bất kì sân bay nào đến bất kì sân bay khác thông qua một hoặc nhiều chuyến bay trực tiếp. Với mỗi cặp sân bay ta xét tuyến đường ngắn nhất nối giữa chúng, tức là tuyến đường mà nó gồm số lượng ít nhất các đường bay trực tiếp nối giữa hai sân bay này. Hỏi số lượng đường bay trực tiếp lớn nhất có thể có trong một tuyến đường ngắn nhất giữa hai sân bay nào đó là bao nhiêu? 

 

--------HẾT NGÀY 2--------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 12-05-2019 - 15:34

[Ha Minh Hieu]

Lời giải bài 1:

Ta thấy ngay n=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xét n>1, Ta chứng minh n có dạng $2^{a}$

Thật vậy giả sử ngược lại, Gọi p là một ước nguyên tố lẻ của n và $p^m \left | \right |n$

Khi đó $p^{3m}\left | \right |n^3$

Ap dụng bổ đề LTE cho p nguyên tố khác 2, Thấy ngay số mũ lớn nhất của p trong khai triển 3^n - 1 là m => m=0

Do đó n chỉ có ước nguyên tố chắn 

=> n = $2^{a}$

Khi đó $3^n-1=3^{2^a}-1=9^{2^{a-1}}-1$

Aps dụng bổ đề LTE cho p=2, ta có:$2^{a+2}\left | \right |$ $9^{2^{a-1}}-1$

=> 3a = a+2 => a=1

Vậy có 2 đáp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1 và 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Minh Hieu: 12-05-2019 - 06:47

[Ha Minh Hieu]

Lời giải bài 2:

Xác định công thức tổng quát của dãy là $k+n^2+n-2$ ( Có thể chứng minh bằng quy nạp )

Ta cần tìm số k sao cho phương trình nghiệm nguyên: $k+n^2+n-2=a^2$ có đúng 2019 số nguyên.

<=> (2a-2n-1) (2a+2n+1) = 4k-9

Chon k = $\frac{3^{4037}+9}{4}$ là xong

[halloffame]

Xem lời giải bài 3 tại đây.

[tr2512]

Câu 4:

Sử dụng bổ đề quen thuộc:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$$

Quy bài toán về chứng minh:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{9}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} $$

$$\ge\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\frac{{\sqrt {ab + bc + ca} }}{{\sqrt 3 }}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$=\frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2}$$

Hoàn tất chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 14-05-2019 - 18:22

[Quang Kien]

Câu 4:

Sử dụng bổ đề quen thuộc:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$$

Quy bài toán về chứng minh:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{9}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} $$

$$\ge\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\frac{{\sqrt {ab + bc + ca} }}{{\sqrt 3 }}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$=\frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2}$$

Hoàn tất chứng minh.

bạn có thể hướng dẫn mình chứng minh bổ đề không ?

[Leminhtri2003]

bạn có thể hướng dẫn mình chứng minh bổ đề không ?

Chuẩn hóa abc=1

$\left ( \sum \frac{a}{b} \right )^{2}\geq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

Áp dụng cauchy

$\frac{a}{b}^{2}+\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\geq 3a^{2}$

Chứng minh TT ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leminhtri2003: 01-07-2019 - 16:04