Cho đường thẳng d : y=$-mx + \frac{1}{2m^{2}}$ với m khác 0 và parabol (P) : y=x2
a) Chứng minh d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt với mọi m khác 0
b) Gọi A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) là các giao điểm của d và (P). Tìm GTNN của M= ${y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}$
Giúp mình phần b) với ạ.
a) Phương trình hoành độ giao điểm : $x^2+mx-\frac{1}{2m^2}=0$
Phương trình này có $\Delta > 0,\forall m\neq 0\Rightarrow$ $d$ luôn cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt.
b) $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=-\frac{1}{2m^2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_1^2+x_2^2=m^2+\frac{1}{m^2}\\x_1^2x_2^2=\frac{1}{4m^4} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow M=y_1^2+y_2^2=x_1^4+x_2^4=\left ( m^2+\frac{1}{m^2} \right )^2-2.\frac{1}{4m^4}=m^4+\frac{1}{2m^4}+2\geqslant 2\sqrt{\frac{1}{2}}+2=2+\sqrt2$
(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m^4=\frac{1}{2m^4}\Leftrightarrow m=\pm \sqrt[8]{\frac{1}{2}}$)