Chủ đề này có 2 trả lời

[CaoThoDat]

Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng: 
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geqslant 2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )-3$

p/s: Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Đồng Nai 2019. Pls Help and thanks

[WaduPunch]

Đặt $\frac{a}{b}=x; \frac{b}{c}=y; \frac{c}{a}=z$ với $x;y;z>0; xyz=1$

Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với $x^2+y^2+z^2 \geq 2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-3<=>x^2+y^2+z^2 \geq 2(xy+yz+zx)-3<=>(x+y+z)^2\geq4(xy+yz+zx)-3(1)$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r=1$ ta có

$(1)$ trở thành: $p^2\geq4q-3<=>p^2-4q+3\geq0<=> p^3-4pq+3p\geq 0$ vì $p=x+y+z > 0$

Mà$p=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$ nên $p^3-4pq+9\geq 0<=> p^3-4pq+9r\geq 0$ (Đúng vì đây là BĐT Schur)

$=>$đpcm

Dấu "$=$" xảy ra $<=> a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 13-06-2019 - 20:50

[DOTOANNANG]

$$\because\,x^{\,2}+ y^{\,2}+ z^{\,2}+ 2\,xyz+ 1- 2(\,xy+ yz+ zx\,)\geqq 0$$

$\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry721862 $\rfloor$