Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyen minh hieu hp]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh bất đẳng thức

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a+b+c}$

[phongmaths]

Ta có 

$\frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}-\frac{ab^3}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^{2}+ab+b^{2}}=a^2-ab$

CMTT ta suy ra $\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum (\frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}-\frac{ab^3}{a^2+ab+b^2})+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}=\sum (a^2-ab)+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}$

Mà $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a+b+c}=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{a+b+c}+\frac{3abc}{a+b+c}=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{a+b+c}+\frac{3abc}{a+b+c}=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\frac{3abc}{a+b+c}$

BĐT phải chứng minh là $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\geq (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\frac{3abc}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{bc^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{3abc}{a+b+c}$

Chia cả hai vế cho abc ta được

$\frac{b^2}{c(a^2+ab+b^2)}+\frac{c^2}{a(b^2+bc+c^2)}+\frac{a^2}{b(c^2+ca+a^2)}\geq \frac{3}{a+b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy schwart ta được

$\frac{b^2}{c(a^2+ab+b^2)}+\frac{c^2}{a(b^2+bc+c^2)}+\frac{a^2}{b(c^2+ca+a^2)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{c(a^2+ab+b^2)+a(b^2+bc+c^2)+b(c^2+ca+a^2)}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

Mà $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\geq \frac{3}{a+b+c}$(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c