Chủ đề này có 4 trả lời

[tamthien19]

Let Q be a P - primary ideal of the commutative Noetherian ring R. Show that there exists $n\epsilon \mathbb{N}$such that  $P^{(n)}\subseteq Q$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tamthien19: 25-06-2019 - 22:32

[bangbang1412]

Let Q be a P - primary ideal of the commutative Noetherian ring R. Show that there exists $n\epsilon \mathbb{N}$such that  $P^{(n)}\subseteq Q$

Trong vành Noether thì mọi ideal $\mathfrak{q}$ đều chứa một lũy thừa căn của chính nó. Thật vậy gọi $x_1, ... , x_n$ là một hệ sinh hữu hạn của $\sqrt{\mathfrak{q}}$ (có điều này do vành Noether) và $x_i^{n_i} \in \mathfrak{q}$, lấy $n = 1 + \sum (n_i - 1) $. Khi đó $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n$ sinh bởi các phần tử có dạng $\prod x_i^{r_i}, \sum r_i = n$; từ định nghĩa của $n$ có ít nhất một số $r_i \geq n_i$ nên $\prod x_i^{r_i} \in \mathfrak{q}$. Như vậy $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n \subset \mathfrak{q}$. Trường hợp $\mathfrak{q}$ là $\mathfrak{p}$ - nguyên sơ là trường hợp đặc biệt do $\sqrt{\mathfrak{q}}=\mathfrak{p}$. 

[tamthien19]

Trong vành Noether thì mọi ideal $\mathfrak{q}$đều chứa một lũy thừa căn của chính nó. Thật vậy gọi $x_1, ... , x_n$ là một hệ sinh hữu hạn của $\sqrt{\mathfrak{q}}$ (có điều này do vành Noether) và $x_i^{n_i} \in \mathfrak{q}$, lấy$n = 1 + \sum (n_i - 1)$. Khi đó $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n$sinh bởi các phần tử có dạng $\prod x_i^{r_i}, \sum r_i = n$; từ định nghĩa của $n$có ít nhất một số $r_i \geq n_i$ nên $\prod x_i^{r_i} \in \mathfrak{q}$. Như vậy $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n \subset \mathfrak{q}$. Trường hợp $\mathfrak{q}$là $\mathfrak{p}$ - nguyên sơ là trường hợp đặc biệt do $\sqrt{\mathfrak{q}}=\mathfrak{p}.$

Cảm ơn rất nhiều !!!. Tiện có thể xem giùm bài này:

Let R be the polynomial ring $K\left \lfloor X_{1},..., X_{n} \right \rfloor$  over the field K in the indeterminates $X_{1},..., X_{n}$, and let $\alpha _{1},..., \alpha _{n}\epsilon K$. Let $r\epsilon \mathbb{N}$with $1\leq r\leq n$. Show that, for all choices of$t_{1},..., t_{r}\epsilon \mathbb{N}$, the ideal $\left ( \left ( X_{1}-\alpha _{1} \right )^{t_{1}},...,( \left ( X_{r}-\alpha _{r} \right )^{t_{r}} \right )$ of R is primary.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tamthien19: 27-06-2019 - 10:36

[bangbang1412]

Cảm ơn rất nhiều !!!. Tiện có thể xem giùm bài này:

Let R be the polynomial ring $K\left \lfloor X_{1},..., X_{n} \right \rfloor$  over the field K in the indeterminates $X_{1},..., X_{n}$, and let $\alpha _{1},..., \alpha _{n}\epsilon K$. Let $r\epsilon \mathbb{N}$with $1\leq r\leq n$. Show that, for all choices of$t_{1},..., t_{r}\epsilon \mathbb{N}$, the ideal $\left ( \left ( X_{1}-\alpha _{1} \right )^{t_{1}},...,( \left ( X_{r}-\alpha _{r} \right )^{t_{r}} \right )$ of R is primary.

Bài này dùng trực tiếp định nghĩa thôi.

[tamthien19]

Bài này dùng trực tiếp định nghĩa thôi.

Có thể gợi ý 1 tí được không, mình dùng định nghĩa mà vẫn chưa được.