Tìm a, b, c nguyen, phân biệt khác 0 để $P(x)=x(x-a)(x-b)(x-c)+1$ khả quy trên Z[x].
(Hỏi lâu rồi vẫn chưa có ai giải được ak)
#2
Đã gửi 07-07-2019 - 16:11
Sugar
-
- Thành viên mới
-
- 20 Bài viết
Binh nhất
Trường hợp 1: Tồn tại số nguyên $k$ sao cho $x+k|P(x)$ thì $P(-k)=0$ hay $(-k-a)(-k-b)(-k-c)=-1$. Khi đó, tập các giá trị của $(-k-a),(-k-b),(-k-c)$ là $\{-1;1\}$ nên theo Dirichlet, $a,b,c$ không thể phân biệt.
Trường hợp 2: $P(x)=(x^2+mx+t)(x^2+nx+1t)$ với $t=\pm1$. Khi đó, so sánh hệ số của $x^3$ thì $-a-b-c=t(m+n)$ và của $x$ thì $-abc=t(m+n)$. Vì vậy, $a+b+c=abc$. Ta có thể dễ dàng giải được $(a,b,c)$ là $(1,2,3)$ và các hoán vị cũng như $(-1,-2,-3)$ và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sugar: 07-07-2019 - 16:12
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức
Solved
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
