Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1+ \sqrt{x+y+3}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Scarr

Scarr

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Bài 1: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1+ \sqrt{x+y+3}$

Bài 2: Cho $a, b, c, d$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $P(x)= ax^3+bx^2+cx+d$ có nghiệm là $3+2\sqrt{2}$, chứng minh rằng $P(x)$ chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-6x+1$

Bài 3: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $xy+5y - \sqrt{4y-1}= \frac{7x}{2} - \sqrt{x+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-06-2023 - 04:06
LaTeX


#2
ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Bài 1:

Ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y+3}+1\Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y=x+y+3+2\sqrt{x+y+3}+1$

$\Rightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}-2\Rightarrow x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4$

$\Rightarrow \sqrt{xy}=\frac{xy+x+y-1}{4}$

Đến đây, nếu ta giả sử $xy$ không là số chính phương, thì VT sẽ số vô tỉ trong khi VP là số hữu tỉ (vô lí)

Do đó, $xy$ là số chính phương. Đặt $xy=k^2\Rightarrow \sqrt{xy}=k$ (k là số nguyên)

Lại có $x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=xy-2\sqrt{xy}+1\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1$$\Rightarrow \sqrt{y}=k-1-\sqrt{x}\Rightarrow y=(k-1)^2-2(k-1)\sqrt{x}+x\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{(k-1)^2+x-y)}{2(k-1)}$

Đến đây làm tương tự, ta được $x$ là số chính phương. Do đó $y$ cũng là số chính phương.

Đặt $x=a^2,y=b^2$ (a,b là các số nguyên)

Thay vào, ta có $a+b=ab-1$. Đến đây, ta tìm được $(a,b)=(3,2),(a,b)=(2,3)$

Thay vào, ta tìm được $(x,y)=(4,9),(x,y)=(9,4)$  :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 26-07-2023 - 10:43


#3
ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Bài 3:

Ta có

$xy+5y-\sqrt{4y-1}=\frac{7x}{2}-\sqrt{x+1}\Rightarrow 2xy+10y-7x=2(\sqrt{4y-1}-\sqrt{x+1})$

Do $x,y$ là các số nguyên nên $\frac{2xy+10y-7x}{2}$ là số hữu tỉ, do đó $\sqrt{4y-1}-\sqrt{x+1}$ là số hữu tỉ.

Khi đó, ta xét các TH:

TH1: Nếu $\sqrt{4y-1}\neq \sqrt{x+1}$.

Ta chứng minh bổ đề 1: Nếu $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ (với a nguyên) thì a là số chính phương.

Thật vậy, ta đặt $\sqrt{a}=\frac{p}{q}(p,q\in N,(p,q)=1)\Rightarrow a=\frac{p^2}{q^2}$ là số nguyên. Do đó $p^2\vdots q^2$, mà $(p,q)=1$ nên $q=1$, ta được a là số chính phương.

Ta chứng minh bổ đề 2: Nếu $\sqrt{c}-\sqrt{d}$ là số hữu tỉ (với c,d nguyên) thì c,d là các số chính phương.

Thật vậy, ta có $\sqrt{c}-\sqrt{d}=\frac{c-d}{\sqrt{c}+\sqrt{d}}$ là số hữu tỉ, do đó $\sqrt{c}+\sqrt{d}$ là số hữu tỉ

Khi đó $\sqrt{c}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2}$ là số hữu tỉ, chứng minh tương tự bổ đề 1, ta được c là số chính phương, d cũng là số chính phương.

Đến đây, ta được $4y-1,x+1$ là các số chính phương. Vì $4y-1\equiv 3(mod4)$ nên TH này loại.

TH2: Nếu $\sqrt{4y-1}=\sqrt{x+1}$, khi đó ta được $2xy+10y-7x=0\Rightarrow 2y(x+5)-7(x+5)=-35\Rightarrow (2y-7)(x+5)=-35$

Đến đây, ta tìm được $(x,y)=(2,1)$ :D



#4
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Bài 1: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1+ \sqrt{x+y+3}$

Bài 2: Cho $a, b, c, d$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $P(x)= ax^3+bx^2+cx+d$ có nghiệm là $3+2\sqrt{2}$, chứng minh rằng $P(x)$ chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-6x+1$

Bài 3: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $xy+5y - \sqrt{4y-1}= \frac{7x}{2} - \sqrt{x+1}$

Bài 2: Ta có $P(3+2\sqrt{2})=99a+70a\sqrt{2}+17b+12b\sqrt{2}+3c+2c\sqrt{2}+d=(99a+17b+3c+d)+\sqrt{2}(70a+12b+2c)=0$

Vì $a;b;c$ hữu tỷ suy ra $99a+17b+3c+d$ và $70a+12b+2c$ đều là các số hữu tỷ nên theo kết quả ta có $99a+17b+3c+d=70a+12b+2c =0$.

Khi đó $P(3-2\sqrt{2})$=$(99a+17b+3c+d)-\sqrt{2}(70a+12b+2c)=0$ nên $P(x)$ cũng có nghiệm là $3-2\sqrt{2}$.

Vậy $P(x)$ chia hết cho $(x-3-2\sqrt{2})(x-3+2\sqrt{2})$$=x^2-6x+1$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 25-07-2023 - 14:03

Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác

#5
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 321 Bài viết

Một cách tiếp cận dùng đánh giá bất đẳng thức. 

 

Bài 3. Từ phương trình ban đầu ta suy ra \begin{equation} (2xy+10y-7x)^2-4y-x=-2\sqrt{(4y-1)(x+1)} \end{equation} 

Do đó vế trái phương trình $$S=(2xy+10y-7x)^2-4y-x=[x(2y-7)+10y]^2-4y-x \leq 0$$ 

Bây giờ nếu $y \geq 4$ thì $$[x(2y-7)+10y]^2 \geq (x+10y)^2 > x^2+100y^2 > x+4y$$ tức là khi đó $S > 0$, mâu thuẫn. 

 

Vậy ta phải có $1 \leq y \leq 3$. 

 

Xét $y=3$, thay vào $(1)$ ta được  $$x^2-61x+888=-2\sqrt{11(x+1)}$$ Để $\sqrt{11(x+1)}$ là số nguyên thì $x \equiv -1 \pmod{11}$. Khi đó vế trái phương trình đồng dư với $4$ modulo $11$, còn vế phải phương trình đồng dư $0$ modulo $11$. Do đó phương trình vô nghiệm. 

 

Xét $y=2$ thay vào $(1)$ ta được $$ 9x^2-121x+396=-2\sqrt{7(x+1)}$$ Tương tự như trên ta phải có $x\equiv -1 \pmod{7}$ khi đó vế trái phương trình đồng dư $4$ modulo $7$, còn vế phải đồng dư $0$ modulo $7$ do đó phương trình vô nghiệm. 

 

Xét $y=1$ thay vào $(1)$ ta được $$25x^2-101x+96=-2\sqrt{3(x+1)}$$ Để $25x^2-101x+96<0$ thì ta phải có $x_1 <x<x_2$ trong đó $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $25x^2-101x+96=0$. Chỉ có duy nhất giá trị nguyên $x=2$ nằm trong khoảng nói trên. Thay $x=2$ vào phương trình trên ta thấy thoả mãn. 

 

Tóm lại phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $(x;y)$ là $(2;1)$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 25-07-2023 - 21:05

"Hap$\pi$ness is only real when shared."




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh