Chủ đề này có 2 trả lời

[Sin99]

(Sáng tác ??) Cho $ a.b,c > 0 $ thỏa $abc =1$. Chứng minh BĐT: 

$ \sum \frac{a^2}{b^2+2ab} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 13-07-2019 - 19:12

[Gammaths11]

(Sáng tác ??) Cho $ a.b,c > 0 $ thỏa $abc =1$. Chứng minh BĐT: 

$ \sum \frac{a^2}{b^2+2ab} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3} $

giải đi bn 

[Sin99]

$\sum \frac{a^2}{b^2+2ab} = \sum \frac{\frac{a^2}{b^2}}{1+2\frac{a}{b}} \geq \frac{(\sum \frac{a}{b})^2}{3+2\sum \frac{a}{b} }$.

Đặt $ \sum \frac{a}{b} = x $ , ta chứng minh $ \frac{x^2}{3+2x} \geq \frac{x}{3} $ hay BĐT $ \Leftrightarrow x(x-3) \geq 0 $ (Đúng).

Ta chỉ cần chứng minh $ \sum \frac{a}{b} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} $ hay $ \sum \frac{a^2}{b^2} + 2 \sum \frac{b}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2) $. 

Ta có : $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{c} + \frac{a}{c} \geq 3 \sqrt[3]{ \frac{a^4}{b^2c^2} } = 3 \frac{a^2}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ Tương tự cộng theo vế, ta được $ (\sum \frac{a}{b})^2 \geq \frac{3( a^2+b^2+c^2)}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ hay $ \sum \frac{a}{b} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} $ do $ abc =1$.

Chứng minh hoàn tất!   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 19-07-2019 - 17:08