Cho $ 2n +1 $ điểm, kí hiệu là $ P_{i} $ trên nửa đường tròn tâm $ O $ bán kính bằng 1 cm. CMR: $ | \overrightarrow{OP_{1}}+ \overrightarrow{OP_{2}} +...+\overrightarrow{OP_{2n+1}} | \geq 1$.
#1
Đã gửi 19-07-2019 - 17:09
Sin99
-
- Thành viên
-
- 238 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 26-03-2021 - 20:53
SpiritCreator
-
- Điều hành viên THCS
-
- 20 Bài viết
Binh nhất
Cho $ 2n +1 $ điểm, kí hiệu là $ P_{i} $ trên nửa đường tròn tâm $ O $ bán kính bằng 1 cm. CMR: $ | \overrightarrow{OP_{1}}+ \overrightarrow{OP_{2}} +...+\overrightarrow{OP_{2n+1}} | \geq 1$.
Dễ thấy với $n=0$ thì đpcm là đúng.
Giả sử đpcm đúng với $n=k ( | \sum\limits_{i=1}^{2k+1} \overrightarrow{OP_i} | \geq 1)$; ta chứng minh đpcm đúng với $n=k+1$.
Tức là cần chứng minh: $ ( | \sum\limits_{i=1}^{2k+3} \overrightarrow{OP_i} | \geq 1)$.
Thật vậy; trong số $2k+3$ vecto trên ta chọn 2 vecto có góc tạo bởi chúng nhỏ nhất; W.L.O.G giả sử chúng là $\overrightarrow{OP_1}$; $\overrightarrow{OP_{2k+3}}$.
Đặt $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_{2k+3}}$. Theo giả thiết quy nạp ta được:
$\overrightarrow{ON}=| \sum\limits_{i=2}^{2k+2} \overrightarrow{OP_i} | \Rightarrow |\overrightarrow{ON}|=| \sum\limits_{i=2}^{2k+2} \overrightarrow{OP_i} |\geq 1$.
Dễ thấy rằng $\overrightarrow{ON}$ nằm trong $\angle P_1OP_{2k+3}$ do đó góc giữa $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ là góc nhọn.
$\Rightarrow | \sum\limits_{i=1}^{2k+1} \overrightarrow{OP_i} |=|\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{ON}|\geq |\overrightarrow{ON}|\geq 1$
$\Rightarrow dpcm$.
***Sorry mọi người mình gõ xong không hiểu sao lại bị lỗi Latex; sửa hoài không được; hi vọng nếu có anh chị ĐHV, QTV nào ghé qua thì có thể sửa hộ em được không ạ
- Mr handsome ugly, Hoang72 và LTBN thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt, vecto
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
