Đến nội dung

Hình ảnh

CMR I thuộc tiếp tuyến chung

tiếp xúc thẳng hàng vô địch nga

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

$ \textbf{ Bài toán } $ ( Vô địch Nga 2002 ) Cho tam giác $ ABC $ nội tiếp $ (O) $, $ I $ là tâm nội tiếp. $ BI $ cắt $ (O) $ tại $ E $, $ CI $ cắt  $ (O) $ tại $ D $. Vẽ $ (D), (E) $ tiếp xúc lần lượt $ AB, AC $. CMR $ I $ thuộc tiếp tuyến chung của $ (D) $ và $ (E) $.



#2
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết

$ \textbf{ Bài toán } $ ( Vô địch Nga 2002 ) Cho tam giác $ ABC $ nội tiếp $ (O) $, $ I $ là tâm nội tiếp. $ BI $ cắt $ (O) $ tại $ E $, $ CI $ cắt  $ (O) $ tại $ D $. Vẽ $ (D), (E) $ tiếp xúc lần lượt $ AB, AC $. CMR $ I $ thuộc tiếp tuyến chung của $ (D) $ và $ (E) $.



Gọi $xy$ là tiếp tuyến tại $A$ với $(O)$,
$x$ cùng phía với $B$ so với $AC$
có $\widehat{xAD} =\widehat{DAB}$(do cung $AD$=cung $BD$)
$\Rightarrow D$ cách đều $Ax, AB$
$\Rightarrow Ax$ tiếp xúc $(D)$
tương tự, $Ay$ tiếp xúc $(E)$
$\Rightarrow xy$ là tiếp tuyến chung đi qua $A$ của $(D)$ và $(E)$ (1)
có $\widehat{DAI} =\widehat{DAB} +\widehat{BAI}$
$=\widehat{DCB} +\widehat{IAC}$
$=\widehat{ICA} +\widehat{IAC} =\widehat{DIA}$
$\Rightarrow DA=DI$, tương tự $EA=EI$
$\Rightarrow I$ đối xứng với $A$ qua $DE$ (2)
có $(D),(E)$ đối xứng với chính nó qua $DE$
$\Rightarrow$ tồn tại tiếp tuyến $x'y'$ chung đối xứng với $xy$ qua $DE$(3)
từ (1,2,3)$\Rightarrow I$ thuộc $x'y'$ (đpcm)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tiếp xúc, thẳng hàng, vô địch nga

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh