cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 và a,b,c> 0$
CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
help me
cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 và a,b,c> 0$
CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
help me
Đề có vẻ sai chỗ giả thiết, mình nghĩ phải là $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Nếu là vậy thì xin đưa ra cách sau:
$ \textbf{ Bổ đề } $. Với $ a,b,c > 0 $, ta có : $ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $
$ \textbf{ Chứng minh } $. BĐT tương đương $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} + 2 ( \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}) \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $
Sử dụng AM-GM: $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{c} + \frac{a}{c} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a^4}{b^2c^2} } \geq 3\frac{a^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $
Tương tự, cộng theo vế ta được $ (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})^2 \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ hay
$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $
$ \textbf{ Áp dụng } $. $ VT \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} = \frac{3}{\sqrt[3]{abc} } \geq \frac{9}{a+b+c} = VP $ (ĐPCM).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 30-07-2019 - 19:06
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh