Đến nội dung

Hình ảnh

$\text{supp}s$ trong lược đồ $\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy)$

lược đồ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Với một không gian định vành (ringed space) $(X,\mathscr{O}_X)$ và môt lát cắt toàn cục (global section) $s \in \mathscr{O}_X$ ta luôn xét được giá (support) của nó được định nghĩa là
$$\text{supp}s = \left \{\mathfrak{p} \in X: [s,X] \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,\mathfrak{p}} = \underrightarrow{\lim}_{\mathfrak{p} \in U}\mathscr{O}_X(U) \right \}$$
có thể chứng minh giá là một tập đóng. Ở đây ta xét:
$$(X,\mathscr{O}_X) = (\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy), \mathscr{O}_{\text{Spec } \ (k[x,y]/(y^2,xy)}))$$
trong đó $k$ là trường, không nhất thiết đóng đại số. Mình có hai câu hỏi, mình chứng minh được một nhưng vẫn hơi phân vân; ai có thể viết rõ toàn bộ ra thì tốt
$i)$ $(x,y)$ là điểm duy nhất trong $X$ mà stalk tại đó là không rút gọn (có nilradical không tầm thường).
$ii)$ Với mọi $s$ là lát cắt toàn cục thì $\text{supp}s$ chỉ là ba trường hợp, tập rỗng, $(x,y)$ hoặc toàn bộ không gian.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 31-07-2019 - 06:27

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 673 Bài viết

Với một không gian định vành (ringed space) $(X,\mathscr{O}_X)$ và môt lát cắt toàn cục (global section) $s \in \mathscr{O}_X$ ta luôn xét được giá (support) của nó được định nghĩa là
$$\text{supp}s = \left \{\mathfrak{p} \in X: [s,X] \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,\mathfrak{p}} = \underrightarrow{\lim}_{\mathfrak{p} \in U}\mathscr{O}_X(U) \right \}$$
có thể chứng minh giá là một tập đóng. Ở đây ta xét:
$$(X,\mathscr{O}_X) = (\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy), \mathscr{O}_{\text{Spec } \ (k[x,y]/(y^2,xy)}))$$
trong đó $k$ là trường, không nhất thiết đóng đại số. Mình có hai câu hỏi, mình chứng minh được một nhưng vẫn hơi phân vân; ai có thể viết rõ toàn bộ ra thì tốt
$i)$ $(x,y)$ là điểm duy nhất trong $X$ mà stalk tại đó là không rút gọn (có nilradical không tầm thường).
$ii)$ Với mọi $s$ là lát cắt toàn cục thì $\text{supp}s$ chỉ là ba trường hợp, tập rỗng, $(x,y)$ hoặc toàn bộ không gian.

1. Lược đồ $X=Spec(k[x,y]/(y^2,xy))$ về mặt topo đồng phôi với đường thẳng $Spec(k[x])$ nên dựa vào đây ta dự đoán rằng $X-(x,y)$ đẳng cấu với $Spec(k[x]_x).$ Điều này tương đương với sự tồn tại của một đẳng cấu $$k[x]_x \rightarrow k[x,y]/(y^2,xy)_x$$ mà ta có thể định nghĩa như sau: $f(x)/x^n \mapsto \overline(f(x))/ \overline(x)^n.$

Rõ ràng ánh xạ định nghĩa như trên là đẳng cấu. Mỗi phần tử trong $k[x,y]/(y^2,xy)$ viết được dưới dạng $ay+f(x)$, nhưng vì $x$ khả nghịch trong $k[x,y]/(y^2,xy)_x$ nên quan hệ $xy=0$ dẫn tới $y=0.$ Như vậy ánh xạ trên cũng là toàn ánh. Do $k[x]_x$ là nguyên nên thớ của X tại các điểm tại đó $x$ khác 0 là rút gọn. Tại $x=0$ ta có $y^2=0$ trong khi $y$ khác 0, vì nếu $y=0$ trong thớ $X_(x,y)$ thì tồn tại một đa thức f(x,y) không thuộc (x,y) sao cho $f(x,y)y \in (y^2,xy),$ mâu thuẫn.  

 

2. Đầu tiên ta chỉ ra nếu $supp s$ không chứa $(x,y)$ thì $supp s$ rỗng. Như vậy tồn tại $f \notin (x,y)$ sao cho $fs \in (y^2,xy).$ Suy ra $s \in (y).$ Lập luận như trong 1, ta thấy $s=0$ trên $X-(x,y).$ Trong trường hợp $supp s$ chứa $(x,y)$ và không chứa 1 điểm nào đó khác. Do $X-(x,y)$ là lược đồ affine nguyên nên ta suy ra $s|_{(X-(x,y))}=0.$ Ta lấy một ví dụ để chỉ ra thật sự có một lát cắt mà giá của nó là $(x,y).$ Chẳng hạn như $y.$ Việc chỉ ra $y$ khác 0 trong $X_{(x,y)}$ đã làm ở trong 1.   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 08-08-2019 - 17:16






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lược đồ

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh