Chủ đề này có 2 trả lời

[NHN]

Chuyên mục Quán hình học phẳng tháng 8 năm 2019

 

https://drive.google...XPpnS7FmaIYWz-c

 

Mọi người tham gia thảo luận vui vẻ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 30-07-2019 - 21:35

[Hoang72]

Bài 1:

Ta có $\angle XYZ=\angle AYF=180^o-\angle YFA-\angle YAF=180^o-\angle YFA- \angle ADB+\angle ABC=\angle ABC$.

Tương tự $\angle XZY=\angle ACB$ nên $\Delta ABC\sim\Delta XYZ(g.g)$.

Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của $\Delta ABC,\Delta XYZ$.

Gọi $O$ là tâm của $(ABC)$.

Ta có $\angle BXC=180^o-\angle YXZ=180^o-\angle BAC=\angle BKC$ nên tứ giác $BKXC$ nội tiếp.

Do đó $\angle KXZ=\angle KCB=\angle OCA$. Tương tự $\angle KZX=\angle OAC$ nên $KZ=KX$.

Chứng minh tương tự ta có $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta XYZ$.

Từ đó do $\Delta XYZ\sim\Delta ABC\Rightarrow \Delta XYZ\cap \{H\}\cap \{K\}\sim\Delta ABC\cap \{K\}\cap \{O\}$

$\Rightarrow \angle XHK=\angle AKO\Rightarrow \angle \angle OKH=\angle ADC$.

Mặt khác, do tứ giác $BKXC$ nội tiếp nên $\frac{XK}{BC}=\frac{\sin \widehat{XCK}}{\sin \widehat{BXC}}=\frac{\cos\widehat{ADC}}{\sin\widehat{BAC}};\frac{BC}{2OA}=\sin\widehat{BAC}\Rightarrow \frac{XK}{OA}=2\cos\widehat{ADC}\Rightarrow \frac{HK}{OK}=2\cos \widehat{OKH}\Rightarrow OK=OH$.

Vậy $K$ thuộc đường tròn $(O;OH)$ cố định.

P/s: Lời giải phụ thuộc khá nhiều vào hình vẽ.

File gửi kèm

•  Untitled111.png   57.21K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 18-12-2021 - 17:21

[Hoang72]

Bài 2:

Gọi $D$ là hình chiếu của $N$ trên $BC$. Ta sẽ chứng minh $D\in YZ$.

Gọi $Q$ đối xứng với $C$ qua $Z$.

Ta có $MQ=MC=MB$ nên $\Delta BQC$ vuông tại $Q$.

$\Delta ABY\sim\Delta AQZ(g.g)\Rightarrow \Delta ABQ\sim\Delta AYZ(c.g.c)$.

Lại có tứ giác $BYDN$ nội tiếp.

Do đó $\angle BYD=180^o-\angle BND=90^o+\angle NBC=90^o+\angle NAC=90^o+\angle MAB; \angle BYZ=\angle AYZ-90^o=\angle ABQ-90^o=90^o+\angle BAM$.

Suy ra $Y,D,Z$ thẳng hàng. Tương tự ta có $X,T,D$ thẳng hàng.

Vậy ta có đpcm.

File gửi kèm

•  Untitled111.png   45.72K   0 Số lần tải