Đến nội dung

Hình ảnh

Trại hè hùng vương 2019

trại hè hùng vương 2019

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Gianghg8910

Gianghg8910

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Mọi người có thể giúp mình câu 3(đa thức) với câu 5(tổ hợp) được không ạ

Hình gửi kèm

  • thhv.jpg


#2
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

NĂM NAY K CÓ BẤT ĐẲNG THỨC NHỈ ,



#3
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

bạn nào gõ telex lưu lại chứ trôi mất



#4
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài 2:

a) Ta có $P$ là tâm vị tự biến $(K)$ thành $(O)$

Ta lại thấy $AP$ cắt $(K)$ tại $D$ nên $D$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $P$ 

Suy ra $OA//KD$ nên tiếp tuyến tại $A$ và $D$ của $(O)$ và $(K)$ song song nhau. 

b) Ta có 2 bổ đề sau: 

Bổ đề 1: $PE,PF$ đi qua $X,Y$

Bổ đề 2: $IPBF$ và $IPCE$ nội tiếp

(Tự chứng minh vì nó là tính chất của đường tròn Mixtilinear)

Ta có $\stackrel\frown{AX}=\stackrel\frown{CX} \Rightarrow \stackrel\frown{AX}+\stackrel\frown{CP}=\stackrel\frown{PX}\Rightarrow \widehat{PEC}=\widehat{PBX}$

Từ đó ta được $\widehat{YAZ}=\widehat{PFE}=\widehat{PBX}=\widehat{PEC}=\widehat{AEX}=\widehat{AZX} \Rightarrow XZ//AY$

Tương tự thì $YZ//AX$ nên $AXZY$ là hình bình hành. Do đó $AZ$ đi qua trung điểm $XY$. 

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 03-07-2022 - 11:48


#5
ATHEIST

ATHEIST

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Bài 5:

Với $6$ điểm không tồn tại $3$ điểm thẳng hàng, ta luôn có thể tạo thành tam giác từ $3$ điểm bất kì.

Xét số điểm xanh là $3+k$ và số điểm đỏ là $3-k$ (với $k\in [-3;3]$ )

Với $k=0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có $2$ tam giác đơn sắc khác màu.

Với $k\neq 0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có một màu có số điểm $\geq 4$, điều này đồng nghĩa có nhiều hơn $2$ tam giác đơn sắc cùng màu.

Vậy số tam giác đơn sắc ít nhất được tạo thành bởi giả thiết bài toán là $2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 03-07-2022 - 09:21

Nếu em sai xin chỉ giáo ạ!


#6
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài 5:

Với $6$ điểm không tồn tại $3$ điểm thẳng hàng, ta luôn có thể tạo thành tam giác từ $3$ điểm bất kì.

Xét số điểm xanh là $3+k$ và số điểm đỏ là $3-k$ (với $k\in [-3;3]$ )

Với $k=0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có $2$ tam giác đơn sắc khác màu.

Với $k\neq 0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có một màu có số điểm $\geq 4$, điều này đồng nghĩa có nhiều hơn $2$ tam giác đơn sắc cùng màu.

Vậy số tam giác đơn sắc ít nhất được tạo thành bởi giả thiết bài toán là $2$.

 

Hình như bạn bị nhầm đề vì trong đề là tô màu cạnh chứ không phải điểm nên không thể chỉ ra có $\geq 4$ điểm đỏ-xanh là có 2 tam giác đâu nhé



#7
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Bài 5: (Đếm bằng hai cách cho "cặp cạnh cùng màu")

Ở đây ta quan tâm đến các cặp cạnh cùng màu và cùng xuất phát từ một điểm, ta sẽ gọi các cặp cạnh như vậy là "cặp cạnh đẹp". Dễ thấy tam giác có ba cạnh cùng màu thì sẽ có 3 cặp cạnh đẹp, và tam gíac có ba cạnh không cùng màu thì có 1 cặp cạnh đẹp.

Capture.PNG

Gọi $x$ là số tam giác có ba cạnh cùng màu, khi đó còn lại $20-x$ tam giác có ba cạnh không cùng màu. Dẫn đến
\[\#\{\text{cặp cạnh đẹp}\}=3x+(20-x)=2x+20.\tag{1}\]
Tại điểm $A$, gọi $a$ là số cạnh màu đỏ có $A$ là đầu mút, do đó có $5-a$ số cạnh màu xanh có $A$ là đầu mút. Số cặp cạnh đẹp thu được từ điểm $A$ là
\[\binom{a}{2}+\binom{5-a}{2}\ge \binom{2}{2}+\binom{3}{2}= 4.\]
Do vậy
\[\#\{\text{cặp cạnh đẹp}\}\ge \sum_{\text{điểm}\ A}4=24.\tag{2}\]
Từ $(1)$ và $(2)$ thu được $x\ge 2$, đây cũng chính là điều cần chứng minh.

 

Ghi chú: Sử dụng "cặp cạnh cùng màu" đã được viết trong một tập san mà Diễn đàn biên soạn năm 2006 (tải về tại đây, mục 8 - góc cùng màu).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 03-07-2022 - 19:15

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#8
ATHEIST

ATHEIST

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Hình như bạn bị nhầm đề vì trong đề là tô màu cạnh chứ không phải điểm nên không thể chỉ ra có $\geq 4$ điểm đỏ-xanh là có 2 tam giác đâu nhé

Chết thật, em đọc nhầm đề ạ  :wacko:

//

1656845209_lazi_212287.png

Đặt tên các điểm được cho là $A,B,C,D,E,F$

Từ $1$ điểm ta luôn có $5$ đường thẳng nối tới các điểm còn lại, mà các đoạn thẳng chỉ có $2$ màu xanh và đỏ.

Theo Direchlet thì tồn tại ít nhất $3$ đoạn thẳng cùng màu.

Giả dụ như từ điểm $A$, ta có đoạn $AB,AC,AE$ cùng màu (đỏ), khi đó nếu $1$ trong $3$ đoạn $CE,EB,BC$ cùng màu $AB$ thì sẽ tồn tại một tam giác đơn sắc (đỏ) hoặc nếu không có đoạn cùng màu $AB$ thì vẫn tồn tại một tam giác đơn sắc của màu còn lại (xanh).

Vậy ta từ giả thiết ta luôn tạo được tam giác đơn sắc.

Giả sử như tam giác đó là tam giác $ADF$ màu xanh và tam giác đơn sắc chỉ có một và không còn tồn tại tam giác nào nữa.

Như vậy trong 3 đoạn $EC,EB,BC$ tồn tại ít nhất một đoạn màu đỏ. Giả sử như đó là $EC$

Xét các đoạn $CA,CF,CD$ tồn tại ít nhất 2 đoạn đỏ.

Xét các đoạn $EA,EF,ED$ tồn tại ít nhất 2 đoạn đỏ.

Như vậy trong 6 đoạn $CA,CF,CD,EA,EF,ED$ tồn tại ít nhất 4 đoạn đỏ, tức tồn tại 2 đoạn thẳng chung mút $A,D$ hoặc $F$, giả sử đó là $D$. Khi đó luôn tồn tại một tam giác đơn sắc đỏ là $DCE$.

Điều này mâu thuẫn với giả sử.

Vậy tồn tại ít nhất 2 tam giác đơn sắc.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 03-07-2022 - 17:48

Nếu em sai xin chỉ giáo ạ!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh