Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$2f(x)=f\bigg(\dfrac{x}{x^2+x+1}\bigg)+f\bigg(\dfrac{x+1}{2}\bigg)$ với mọi $x\ge 0$

phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Toluen09

Toluen09

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 05-08-2019 - 17:06

Tìm tất cả các hàm số $f$ liên tục: $[0;+\infty)\to [0;+\infty)$ thoả mãn 

$2f(x)=f\bigg(\dfrac{x}{x^2+x+1}\bigg)+f\bigg(\dfrac{x+1}{2}\bigg)$ với mọi $x\ge 0$.



#2 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 05-06-2021 - 14:44

Tìm tất cả các hàm số $f$ liên tục: $[0;+\infty)\to [0;+\infty)$ thoả mãn 

$2f(x)=f\bigg(\dfrac{x}{x^2+x+1}\bigg)+f\bigg(\dfrac{x+1}{2}\bigg)$ với mọi $x\ge 0$.

 

Đáp án câu này:

Gọi $P(x)$ là phép thế của phương trình hàm $2f(x)=f(\frac x{x^2+x+1})+f(\frac{x+1}2)$
Đặt $c=f(1)$
Đặt $g(x)=\frac{x+1}2$
Vì $f$ liên tục, $f(x)$ bị chặn trong khoảng $[0,1]$ do đó $\exists u,v\in[0,1]$ sao cho $f(u)\le f(x)\le f(v)$ $\forall x\in[0,1]$
Nhưng $x\in[0,1]$ cho thấy $\frac x{x^2+x+1}$ và $\frac{x+1}2$  $\in[0,1]$ 
Vì vậy $P(v)$ cho ta được $f(\frac{v+1}2)=f(v)$ và, từ khi ta thế liên tục để $\frac{x+1}2$ tiến dần về $1$, vì $f$ liên tục nên ta được $f(v)=f(1)$
Tương tự với phép thế $P(u)$ ta được $f(u)=f(1)$
Nên $f(x)=c$ là hàm hằng trong khoảng $[0,1]$
Và $P(x)$ trở thành phép thế của $Q(x)$ : $f(x)=\frac c2+\frac 12f(g(x))$ $\forall x$
Vì thế $f(x)=\frac c2+\frac c4+\frac 14f(g(g(x)))$
Chứng minh bằng quy nạp ta có được $f(x)=c(1-2^{-n})+2^{-n}f(g^{[n]}(x))$
Cho $n\to+\infty$, ta có $\lim_{n\to+\infty}g^{[n]}(x)=1$ và $f$ liên tục nên ta được 
$\boxed{f(x)=c\quad\forall x\ge 0}$, thỏa với $c\ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-06-2021 - 14:46






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh