Đến nội dung

Hình ảnh

IJ đi qua điểm chính giữa cung BC

- - - - - ptolemy hinh hoc phang

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (I) tiếp xúc với BC, BD, CA, Đường tròn (J) tiếp xúc ngoài với AB, BC, CD. Chứng minh rằng IJ đi qua điểm chính giữa cung BC. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 06-08-2019 - 11:18

"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#2
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Lời giải của mình: 

Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ $BD$. $F$ là giao điểm của $AB$ $CD$.

Gọi $L$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A,D$, $LI$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $T$.

Gọi $X,Y$ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc $C,B$ của $\triangle ABC, \triangle BDC$

Nếu gọi $S$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ thì ta có $\angle XBS = \angle XAS = 90^0 \Rightarrow XBSA$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle BXI = \angle BAS = \angle BTI \Rightarrow$ Tứ giác $XBIT$ nội tiếp.

Tương tự ta cũng chứng minh được tứ giác $TICY$ nội tiếp.

Từ đó ta có $\angle BXC = \angle BTL = \angle CTL = \angle BYC \Rightarrow XBCY$ nội tiếp.

Do $XB, BJ$ đều là phân giác ngoài góc $ABC$ nên $X,B,J$ thẳng hàng. Tương tự, $Y,C,J$ thẳng hàng.

Theo tính chất trục đẳng phương thì trục đẳng phương của ba đường tròn xanh phải đồng quy, tức là $XB, TI, YC$ đồng quy. Mà $XB$ cắt $YC$ tại $J$, suy ra $T,I,J$ thẳng thàng.

Do đó $I,J,L$ thẳng hàng hay ta có $đpcm \blacksquare$ 

comeback 1.PNG

P/S: Nếu ta dựng một đường tròn $\omega$ tiếp xúc với $AE, DE$ và tiếp xúc trong với $(O)$ thì $T$ là tiếp điểm của $\omega$ với $(O)$

comback 2.PNG


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ptolemy, hinh hoc phang

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh