Đến nội dung


Hình ảnh

CM $\frac{a}{b}$ là "không biểu diễn được trong hệ cơ số n" luôn tồn tại hệ cơ số x thỏa $\frac{a}{b}$ " biểu diễn được"


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 23-03-2021 - 12:15

Cho a;b là hai số nguyên dương sao cho $\frac{a}{b}$ có phần thập phân kéo dài vô hạn trong hệ cơ số n và ta gọi $\frac{a}{b}$ là "số không biểu diễn được trong hệ cơ số n". Chứng minh rằng với một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ bất kì là "số không biểu diễn được trong hệ cơ số n" thì luôn tồn tại hệ cơ số x sao cho $\frac{a}{b}$ không là "số không biểu diễn được trong hệ cơ số x"  và liệu có tồn tại vô hạn các hệ cơ số x sao cho $\frac{a}{b}$ không là "số không biểu diễn được trong hệ cơ số x"  . Đồng thời hãy tìm a; b sao cho $\frac{a}{b}$ luôn là "số không biểu diễn được" đối vơi mọi hệ cơ số n ( n>2) .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 23-03-2021 - 12:20


#2 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 27-03-2021 - 21:56

Em có tìm thấy hướng đi này trên mạng: ta có với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì $\frac{a}{b}= \frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{n^{gk}}$ với r là chu kì tuần hoàn của phần thập phân của  $\frac{a}{b}$ khi biểu diễn qua hệ cơ số n và g là số chữ số của r khi biễu diễn qua hệ cơ số n. Gọi $n^{g}=x$ ta được $\frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{x^{k}}= r\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{x^{k}}$

Ta dùng kết quả quen thuộc sau $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{n-1}$

vậy $\frac{a}{b}=\frac{r}{x-1}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Như vậy để tìm $\frac{a}{b}$ là không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì chỉ cần a;b sao cho tồn tại g và r thỏa $\frac{a}{b}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Từ đây ta dễ dàng giải quyết tất cả các vấn đề trong bài toán trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 28-03-2021 - 11:04


#3 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 22-09-2021 - 11:38

Em có tìm thấy hướng đi này trên mạng: ta có với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì $\frac{a}{b}= \frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{n^{gk}}$ với r là chu kì tuần hoàn của phần thập phân của  $\frac{a}{b}$ khi biểu diễn qua hệ cơ số n và g là số chữ số của r khi biễu diễn qua hệ cơ số n. Gọi $n^{g}=x$ ta được $\frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{x^{k}}= r\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{x^{k}}$

Ta dùng kết quả quen thuộc sau $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{n-1}$

vậy $\frac{a}{b}=\frac{r}{x-1}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Như vậy để tìm $\frac{a}{b}$ là không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì chỉ cần a;b sao cho tồn tại g và r thỏa $\frac{a}{b}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Từ đây ta dễ dàng giải quyết tất cả các vấn đề trong bài toán trên.

Có một thiếu sót cho bài trên; xin bổ sung thêm điều kiện là $\frac{a}{b}$ phải nhỏ hơn 1 và chỉ dùng cho một vài phân số


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 22-09-2021 - 11:58





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh