Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$
a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa
b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa
c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương
a) Các ước dương của $287$ là: $1;7;41;287$
Ta có: $1^2+7^2+41^2+287^2=(287+3)^2=84100$ nên $287$ là số điều hòa
b) Giả sử $n=p^3$ là số điều hòa
Vì $p$ là số nguyên tố nên các ước dương của $p^3$ là $1;p;p^2;p^3$
Ta có: $(p^3+3)^2=1^2+p^2+p^4+p^6\Leftrightarrow p(p^3-6p^2+p)=8$ $\Rightarrow 8\vdots p$ nên $p=2$ (vô lí vì $p$ lẻ)
Vậy điều giả sử là sai tức số $n=p^3$ không là số điều hòa (đpcm)
c) $n=pq$ là số điều hòa nên $(pq+3)^2=1^2+p^2+q^2+(pq)^2\Leftrightarrow 4(pq+2)=(p-q)^2\Rightarrow p-q\vdots 2\Rightarrow \frac{p-q}{2}\in Z$
Do đó $n+2=pq+2=\frac{(p-q)^2}{4}=(\frac{p-q}{2})^2$ (là số chính phương,đpcm)