Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 93 trả lời

#61 DaiphongLT

DaiphongLT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng p2
  • Sở thích:Geometry,number theory

Đã gửi 25-04-2021 - 11:31

Why k chẵn thì nó lại bằng như thế :))

VT, VP là tích 2 số chẵn lẻ mà 2 vế = nhau nên nó phải = như vậy chứ :)



#62 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 25-04-2021 - 18:33

$\boxed{119}$Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x-y)^{30}+5(y-z)^4+(z-x)=2021$

P/s: Bài này tương đối dễ vì thực chất nó xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi toán 8 của một huyện ờ Hà Tĩnh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:21

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#63 Khoinguyen2007

Khoinguyen2007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 25-04-2021 - 21:22

Bài 120: tìm bộ ba số nguyên tố (p;q;r) sao cho pqr=p+q+r+200


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:21


#64 Nguyen Van Hoang noob

Nguyen Van Hoang noob

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-04-2021 - 23:11

VT, VP là tích 2 số chẵn lẻ mà 2 vế = nhau nên nó phải = như vậy chứ :)

lỡ k+1 = m.n với m ,n lẻ thì ta vẫn có thể tách thành

k.m (chẵn) và n hoặc k.n(chẵn) và m 
 



#65 Nguyen Van Hoang noob

Nguyen Van Hoang noob

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-04-2021 - 23:17

$\boxed{119}$Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x-y)^{30}+5(y-z)^4+(z-x)=2021$

P/s: Bài này tương đối dễ vì thực chất nó xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi toán 8 của một huyện ờ Hà Tĩnh

 

Ta có: 

$(x-y)^{30}\equiv x-y (mod\ 2); 5(y-z)^4\equiv (y-z)^4\equiv y-z (mod\ 2)\\ \Rightarrow (x-y)^{30}+5(y-z)^4+z-x \equiv x-y+y-z+z-x = 0 (mod\ 2)\\ \Rightarrow 2021\equiv 0 (mod\ 2) (VL)$

Vậy không tồn tại nghiệm nguyên của phương trình



#66 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 28-04-2021 - 00:56

Bài 114Tìm tất cả các số x, y $\in N$ thỏa mãn $85^x-y^4=4$

 

 

Ta có

**: x chẵn . dễ chỉ ra vô nghiệm

**: x lẻ

$85^x=(y^2+2y+2)(y^2-2y+2)$

Đặt $d=UCLN(y^2+2y+2;y^2-2y+2)$

nên $4y\vdots d$

Trường hợp d chẵn thì $85^x$ chẵn(Vô lí)

Trường hợp $y\vdots d$ thì $85^x\vdots d$ nên $4\vdots d$

Nên $d=1$

Lại có $y^2+2y+2>y^2-2y+2$

Áp dụng bổ đề 

$a^b=xy$ với $(x,y)=1$ thì $x=(x_1)^b$ và $y=(y_1)^b$ với $(x_1,y_1)=1$. Chứng minh ở topic cũ :) 

Ta có $y^2+2y+2=17^x$

$y^2-2y+2=5^x$

 

Trừ vế theo vế, ta có

$4y=17^x-5^x$

Thế lại vào phương trình gốc

với $(a,b)=(17^x,5^x)$

Ta có $(a-b)^4-1024-256ab=0$ tương đương

$(a^2-2ab+b^2+8a+8b+32)(a^2-2ab+b^2-8a-8b+32)=0$ đến đây giải dễ rồi nhỉ :)

Ko biết cách này vào phòng thi được ko  :))

Vừa chợt kiếm ra ý tưởng khi giải TH sau, Có thể chặn được x



#67 Nguyen Van Hoang noob

Nguyen Van Hoang noob

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-04-2021 - 03:07

Bài 120: tìm bộ ba số nguyên tố (p;q;r) sao cho pqr=p+q+r+200

Cho em xin phép được gõ không Latex bài viết này ạ, em cảm ơn! 

 

Ta có: pqr = p+q+r+200 (*)

<=> 1/pq+1/qr+1/rp +200/pqr =1  (1)

 

Vì p,q,r có vai trò như nhau, ta giả sử p>=q>=r

Từ (1) => 1<= 3/r^2 + 200/r^3 (2)

 

TH1: r>=7 => 3/r^2 +200/r^3 <= 3/49 + 200/343 < 1  (trái (2)) -> loại

TH2: r<=6. Mà r là số nguyên tố nên r bằng 2,3 hoặc 5

 

+) r=2 thì (*) có dạng:

p+q+202=2pq 

<=> 2p+2q+404 =4pq

<=> (2p-1)(2q-1) = 405 

Vì p>= q>=2 ; p,q là số nguyên tố. Ta giải các trường hợp rồi thử lại ta được 

(p,q) thuộc { (41;3) ;  (23;5)}

 

+)  r=3 thì  (*) có dạng :

p+q+203 = 3pq

<=> (3p-1)(3q-1) = 610

Vì p>=q>=3 ; p,q là số nguyên tố . Ta xét các trường hợp -> vô nghiệm nguyên tố

 

+) r=5 thì (*) có dạng :

p+q+205 = 5pq

<=> (5p-1)(5q-1) = 1026 

Vì p>=q>=5; p,q là số nguyên tố. Ta xét các trường hợp -> vô nghiệm nguyên tố.

 

Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên tố p,q,r thuộc (2;3;41);(2;5;23) và hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Hoang noob: 28-04-2021 - 03:08


#68 DaiphongLT

DaiphongLT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng p2
  • Sở thích:Geometry,number theory

Đã gửi 28-04-2021 - 03:41

Vừa chợt kiếm ra ý tưởng khi giải TH sau, Có thể chặn được x

Bài này cũng có 1 cách đồng dư khác nhưng chủ yếu là biến đổi giống chimiwwhh :)



#69 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 01-05-2021 - 23:04

Bài 117Tìm $x\in Z^+$ và p là số nguyên tố sao cho $7^p-4^p=31x^2$

Ngồi hay đứng thử $p=2,3$ ta có $p=3$ thỏa mãn

Xét $p>3$

TH1: $p=3k+1$ nên 

$7.343^k-4.64^k\equiv 2^k(7-4)\equiv 0(mod31)$ vô lí

tương tự TH còn lại



#70 Khoinguyen2007

Khoinguyen2007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 04-05-2021 - 10:29

Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoinguyen2007: 04-05-2021 - 10:40


#71 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 04-05-2021 - 10:55

Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương

Đặt $p^2-q^2-1=k^2$ ($k$ là số nguyên)

$\Rightarrow (p+q)(p-q)=k^2+1$

Nếu $p$ và $q$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì $(p+q)(p-q)\vdots 4$ suy ra $k^2$ chia 4 dư 3 (vô lí vì số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1)

Vậy trong hai số $p,q$ có 1 số chẵn, 1 số lẻ mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và $p>q$ nên q = 2

Khi đó $(p+k)(p-k)=5=1.5=5.1=(-1).(-5)=(-5).(-1)$

Xét các trường hợp tìm được $p=3$ 

Vậy cặp số nguyên tố duy nhất thỏa mãn là $(p,q)=(3,2)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#72 viscolt0801

viscolt0801

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry,Inequality}$ <3

Đã gửi 04-05-2021 - 15:51

 Mình xin đóng góp 2 bài: 

$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$  không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)

$\boxed{\textsf{Bài 123}}$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a$, tổng:

      $P = (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 + ...... + (a+99)^2$ không thể viết dưới dạng luỹ thừa lớn hơn $1$ của một số nguyên dương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viscolt0801: 04-05-2021 - 15:51


#73 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 04-05-2021 - 16:31

 Mình xin đóng góp 2 bài: 

$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$  không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)

Em xin thử, không biết có đúng không :icon6:  

Lời giải:

n là một lập phương đúng nên ta đặt $n=a^3$ $(a\geqslant 1;a\in N)$

Khi đó $n^2+3n+3=a^6+3a^3+3$

Ta có: $(a^6+3a^3+3)-(a^2)^3=3a^3+3>0\Rightarrow a^6+3a^3+3>(a^2)^3$

           $(a^2+1)^3-(a^6+3a^3+3)=3a^3(a-1)+(3a^2-2)>0\Rightarrow (a^2+1)^3>a^6+3a^3+3$

Vậy $(a^2)^3<a^6+3a^3+3<(a^2+1)^3$ nên không thể là lập phương đúng (đpcm)


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#74 DaiphongLT

DaiphongLT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng p2
  • Sở thích:Geometry,number theory

Đã gửi 04-05-2021 - 18:22

 Mình xin đóng góp 2 bài: 

$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$  không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)

 

1 cách suy nghĩ khác :)
Giả sử $n^2+3n+3$ là một lập phương đúng thì $n(n^2+3n+3)$ cũng là lập phương đúng (vì n là lập phương đúng)
$\Rightarrow n(n^2+3n+3)=n^3+3n^2+3n$
Mà $n\in Z^{+}\Rightarrow n^3< n^3+3n^2+3n< (n+1)^3$
Từ đó có kết luận
 



#75 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 04-05-2021 - 18:33

Em xin góp một bài! ~O)

$\boxed{124}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $a^b+b^a=a!+b!$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#76 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 04-05-2021 - 18:48

Góp cho các bạn một bài hay nhưng dễ: 

 

Bài 125: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số 2019 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

*Nếu được hãy giải quyết luôn trường hợp tổng quát: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số nguyên dương $n$ thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

 

P/S: Vì dạo này mình khá bận nên không đăng bài nhiều cho các bạn được; mong thời gian tới các bạn tự quản lí TOPIC mình sẽ cố gắng hết sức đăng bài khi rảnh !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 07-05-2021 - 11:05


#77 DaiphongLT

DaiphongLT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng p2
  • Sở thích:Geometry,number theory

Đã gửi 05-05-2021 - 00:45

Bài 126: Tìm x, y, z là các số tự nhiên, p là số nguyên tố thỏa $x^3+y^3=p^z$
P/s: không biết đã có ở topic cũ chưa :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:22


#78 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 07-05-2021 - 09:33

Bài 126: Tìm x, y, z là các số tự nhiên, p là số nguyên tố thỏa $x^3+y^3=p^z$
P/s: không biết đã có ở topic cũ chưa :)

 

Bài này đã có rồi nhé, đây là bài gốc: 'Tìm $x, y, n, p$ là các số tự nhiên, p là số nguyên tố thỏa $x^3+y^3=p^n$', và đây là lời giải (không sử dụng LTE): 

Lời giải:

Đặt $gcd(a, b)=d$ suy ra $d|p^n$ do đó $d$ là lũy thừa của $p$

Suy ra đặt $a=xp^k$ và $b=yp^k$ với $x$ và $y$ là các số tự nhiên, $k$ là số tự nhiên và $gcd(x, y)=1$

Suy ra $x^3+y^3=p^{n-3k}$ cho nên đặt $m=n-3k$ suy ra $m$ tự nhiên.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\leq y$

$(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^m$

$gcd(x+y, x)=gcd(x, y)=gcd(x+y, y)=1$ nên $gcd(x+y, xy)=1$

Suy ra $gcd(x+y, x^2-xy+y^2)=gcd(x+y, 3xy)=gcd(x+y, 3)$

 

Nếu $3\not|x+y$ thì $x+y$ và $x^2-xy+y^2$ là lũy thừa bậc nguyên tố cùng nhau của $p$

Do đó $x+y>1$ so $x^2-xy+y^2=1$

Suy ra $0\leq(x-y)^2=1-xy\leq 0$ nên $x-y=0$ vì thế $x=y=1$ vì $x$, $y$ nguyên tố cùng nhau. Suy ra $p^m=2$ $\Rightarrow$ $p=2$ và $m=1$

 

Mặt khác $3|x+y$ nên $3|x^2-xy+y^2$ và $p=3$

Suy ra $\frac{x+y}{3}$ và $\frac{x^2-xy+y^2}{3}$ là lũy thừa bậc nguyên tố cùng nhau của $3$

Suy ra $\frac{x+y}{3}=1$ hoặc $\frac{x^2-xy+y^2}{3}=1$

Với $\frac{x+y}{3}=1$ $\Rightarrow$ $x=1$, $y=2$ và $m=2$

Với $\frac{x^2-xy+y^2}{3}=1$ $\Rightarrow$ $(x-y)^2=3-xy$ suy ra $xy=2$ $\Rightarrow$ $x=1$, $y=2$ và $m=2$

 

Do đó $(x, y, p, m)=(1, 1, 2, 1); (1, 2, 3, 2); (2, 1, 3, 2)$

Vậy $(a, b, p, n)=(2^k, 2^k, 2, 3k+1); (3^k, 2\cdot 3^k, 3, 3k+2); (2\cdot 3^k, 3^k, 3, 3k+2)$ với $k$ là số tự nhiên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 07-05-2021 - 11:06


#79 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 07-05-2021 - 11:33

Những bài tiếp theo cho TOPIC đây các bạn! 

 

Bài 127: Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ nguyên dương 

a) Chứng minh rằng mọi ước số của $M$ đều lẻ

b) Tìm $a$ sao cho M chia hết cho 5. Với giá trị nào thì $M$ là lũy thừa của 5 

 

Bài 128: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 5 . Chứng minh rằng số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $n$ và không vượt quá $n$ luôn là số chẵn ( tính luôn cả số 1) .

 

Bài 129: Tìm các số nguyên $x;y$ sao cho $xy+2\mid x^{2}-2$

 

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

 

Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$

a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa 

b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương 

 

Bài 132: Tìm các số $x;y$ nguyên dương sao cho $(y-1)!+1=y^{x}$

 

Bài 133: Tìm số $n$ nguyên dương lớn hơn 1 bé nhất sao cho với mọi số thực $x\geq 2$ ; nếu $[x^{2}];[x^{3}];...; [x^{n}]$ là số chính phương thì $[x]$ cũng là số chính phương biết kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất sao cho $[x]<x$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 09-05-2021 - 10:39


#80 Hoang72

Hoang72

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN

Đã gửi 07-05-2021 - 12:05

Những bài tiếp theo cho TOPIC đây các bạn! 

 

Bài 127: Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ nguyên dương 

a) Chứng minh rằng mọi ước số của $M$ đều lẻ

b) Tìm $a$ sao cho M chia hết cho 5. Với giá trị nào thì $M$ là lũy thừa của 5 

a) Do M = a(a + 3) + 1 và trong hai số a, a + 3 tồn tại 1 số chẵn nên M lẻ. Suy ra mọi ước của M đều lẻ.

b) $M\vdots 5 \Leftrightarrow a^2+3a-4\vdots 5\Leftrightarrow (a-1)(a+4)\vdots 5\Leftrightarrow a\equiv 1(mod5)$.

Để M là lũy thừa của 5 thì $M=a^2+3a+1=5^x(x\in\mathbb{N*})$. 

Do $a\equiv 1(mod5)$ nên $a\equiv 1; 6; 11; 16; 21(mod 25)$. Suy ra $a^2+3a+1\equiv 5(mod 25)$. Do đó x = 1 nên a = 1.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 07-05-2021 - 12:05





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh