Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 96 trả lời

#81 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1180 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 07-05-2021 - 14:04

 

Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$

a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa 

b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương 

a) Các ước dương của $287$ là: $1;7;41;287$

Ta có: $1^2+7^2+41^2+287^2=(287+3)^2=84100$ nên $287$ là số điều hòa

b) Giả sử $n=p^3$ là số điều hòa 

Vì $p$ là số nguyên tố nên các ước dương của $p^3$ là $1;p;p^2;p^3$

Ta có: $(p^3+3)^2=1^2+p^2+p^4+p^6\Leftrightarrow p(p^3-6p^2+p)=8$ $\Rightarrow 8\vdots p$ nên $p=2$ (vô lí vì $p$ lẻ)

Vậy điều giả sử là sai tức số $n=p^3$ không là số điều hòa (đpcm)

c) $n=pq$ là số điều hòa nên $(pq+3)^2=1^2+p^2+q^2+(pq)^2\Leftrightarrow 4(pq+2)=(p-q)^2\Rightarrow p-q\vdots 2\Rightarrow \frac{p-q}{2}\in Z$

Do đó $n+2=pq+2=\frac{(p-q)^2}{4}=(\frac{p-q}{2})^2$ (là số chính phương,đpcm)


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#82 DaiphongLT

DaiphongLT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng p2
  • Sở thích:Geometry,number theory

Đã gửi 07-05-2021 - 17:17

 

 

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

 

Đặt $a^2+b^2=ab.k (k thuộc z) \Leftrightarrow a^2-ab.k+b^2=0$. $\Delta = b^2k^2-4b^2=0$
Pt có nghiệm nguyên khi $b^2k^2-4b^2$ là số chính phương hay $k^2-4=a^2\Leftrightarrow (k-a)(k+a)=4$
đến đây chắc chia ra 6TH để giải  :D  :D



#83 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 07-05-2021 - 23:43

Tại anh Mr handsome ugly không cho anh ra trả lời bài tập trên TOPIC nên anh sẽ phụ anh ấy ra bài tập nhé: 

$\boxed{134}$ Tìm số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $n$ sao cho $p^3-p=n^7-n^3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 07-05-2021 - 23:43


#84 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 08-05-2021 - 00:26

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

Cách 2:

Đặt $a=dx$

$b=dy$ với $d=(a,b)$

$(x,y)=1$

Chỉ ra được $x^2+y^2\vdots xy$ 

Dễ chi ra $x=y$ hay $a=b$

nên chỉ có 1 giá trị là 2

 

Cách 1 có thể giải đc Bài toán phụ 

Sao phog cứ làm cách này nhỉ?? :)



#85 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 08-05-2021 - 10:09

$\boxed{135}$ Tìm các số nguyên dương $(p,q)$ thỏa mãn $p$ là số nguyên tố và $p^5+p^3+2=q^2-q$

P.s: Một bài hơi giống 134



#86 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 08-05-2021 - 11:37

bài 128 là một bài khá lạ và nó thuộc về cấp 3 nên mình xin đưa ra một gợi ý như sau: Sử dụng tính chất nếu $a$ nguyên tố cùng nhau với $n$ thì $n-a$ cũng nguyên tố cùng nhau với $n$ .

 

Những bài còn lại vẫn thuộc về mảng kiến thức của THCS nên mình xin phép không đưa ra gợi ý nhưng xin được nói về nguồn của các bài đó: bài 129 là câu số học trong đề thi toán vòng 2 của trường chuyên PBC còn bài 133 là một bài thuộc mục toán THCS của tạp chí PI ( mình không nhớ rõ là số mấy); bài 132 là một bài cũ trong TOPIC ôn số học chuyên năm học 2019-2020.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 08-05-2021 - 11:38


#87 Nguyen Van Hoang noob

Nguyen Van Hoang noob

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-05-2021 - 12:42

 $\boxed{\textsf{Bài 123}}$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a$, tổng:

      $P = (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 + ...... + (a+99)^2$ không thể viết dưới dạng luỹ thừa lớn hơn $1$ của một số nguyên dương.

 

Trước hết ta chứng minh  $Q=\sum_{i=1}^{9} (x+i)^2 \equiv 6 (mod \ 9) (x\in \mathbb{N})$ (*)

(Bài toán này nhỏ hơn, nhưng các bạn có thể khai triển P trực tiếp ra nhé)

Thật vậy, ta có:

$Q=9x^2+90x+295 = 9\left (x^2+10x+31\right)+6 \equiv 6 (mod \ 9)$ (điều phải chứng minh)

 

Ta thấy P tách được thành 11 tổng, mỗi tổng gồm 9 số chính phương liên tiếp (chia 9 dư 6 - do (*))

Suy ra P chia 9 dư 3 

=> P chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9  

Suy ra P  không thể viết dưới dạng luỹ thừa lớn hơn 1 của một số nguyên dương.



#88 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1180 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 08-05-2021 - 22:11

$\boxed{135}$ Tìm các số nguyên dương $(p,q)$ thỏa mãn $p$ là số nguyên tố và $p^5+p^3+2=q^2-q$

P.s: Một bài hơi giống 134

Ta có: $p^3(p^2+1)=(q-2)(q+1)$

$\blacksquare $ Xét $p=2$ thì $(q-2)(q+1)=40\Rightarrow q=7$

$\blacksquare $ Xét $p=3$ thì $(q-2)(q+1)=270\Rightarrow q=17$

$\blacksquare $ Xét $p>3$ thì $(q+1)-(q-2)=3<p$ do đó $p+1$ và $p-2$ không thể cùng chia hết cho $p$

Nên chỉ có $q+1$ hoặc $q-2$ chia hết cho $p^3$ mà $p^3>p^2+1$ nên $\left\{\begin{matrix}p^3=q+1 & \\ p^2+1=q-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow p=2;q=7$

Vậy có 2 cặp số $(p;q)$ thỏa mãn là $(2;7)$ và $(3;17)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 22:23

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#89 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 08-05-2021 - 22:21

Ta có: $p^3(p^2+1)=(q-2)(q+1)$

$\blacksquare $ Xét $p=2$ thì $(q-2)(q+1)=40\Rightarrow q=7$

$\blacksquare $ Xét $p=3$ thì $(q-2)(q+1)=270\Rightarrow q=17$

$\blacksquare $ Xét $p>3$ thì $(q+1)-(q-2)=3<p$ do đó $p+1$ và $p-2$ không thể cùng chia hết cho $p$

Nên chỉ có $p+1$ hoặc $p-2$ chia hết cho $p^3$ mà $p^3>p^2+1$ nên $\left\{\begin{matrix}p^3=q+1 & \\ p^2+1=q-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow p=2;q=7$

Vậy có 2 cặp số (p;q) thỏa mãn là (2;7) và (3;17)

Tại sao TH3 lại có thể chia ra như vậy. Như thế là không chặt chẽ bởi vì $p^2+1$ có thể là hợp số



#90 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1180 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 08-05-2021 - 22:25

Tại sao TH3 lại có thể chia ra như vậy. Như thế là không chặt chẽ bởi vì $p^2+1$ có thể là hợp số

Là sao a? $q+1>q-2$ mà một trong hai số chia hết cho $p^3$ nên $q+1=p^3$ còn $q-2=p^2+1$ (Ý kiến riêng của em)


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#91 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 08-05-2021 - 22:29

Là sao a? $q+1>q-2$ mà một trong hai số chia hết cho $p^3$ nên $q+1=p^3$ còn $q-2=p^2+1$ (Ý kiến riêng của em)

Ví dụ như $p^2+1=xy$ thì cũng có thể $q+1=p^3.x$ và $q-2=y$ có sai gì đâu đúng k?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 08-05-2021 - 22:29


#92 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1180 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 09-05-2021 - 09:02

Ví dụ như $p^2+1=xy$ thì cũng có thể $q+1=p^3.x$ và $q-2=y$ có sai gì đâu đúng k?

Như thế này thì e nghĩ khoảng cách giữa $q+1$ và $q-2$ sẽ lớn hơn 3?


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#93 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1180 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 09-05-2021 - 09:54

Tại anh Mr handsome ugly không cho anh ra trả lời bài tập trên TOPIC nên anh sẽ phụ anh ấy ra bài tập nhé: 

$\boxed{134}$ Tìm số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $n$ sao cho $p^3-p=n^7-n^3$

Ta có: $p(p+1)(p-1)=n^3(n^2+1)(n^2-1)$

* Nếu $n$ chia hết cho $p$ thì $n^3(n^2+1)(n^2-1)\vdots p^3$ mà $p(p+1)(p-1)$ không chia hết cho $p^3$ nên vô lí (loại)

Vậy $(n^2+1)(n^2-1)$ chia hết cho $p$

-) Xét $p=2$ thì dễ thấy không có số nguyên dương $n$ thỏa mãn

-) Xét $p>2$ thì $n^2+1$ và $n^2-1$ không cùng chia hết cho $p$

  +) Nếu $n^2+1$ chia hết cho $p$ thì $n^2+1\geqslant p\Rightarrow n^7-n^3=p^3-p<(n^2+1)^2-1$ mà $n$ nguyên dương nên dễ thấy $n=1$ hoặc $n=2$

Dễ thấy $n=1$ không thỏa mãn nên $n=2$ khi đó $p=5(tm)$

  +) Nếu $n^2-1$ chia hết cho $p$ thì $n^2-1\geqslant p\Rightarrow n^7-n^3=p^3-p<(n^2-1)^2-1$

Dễ thấy trong trường hợp này không tồn tại số nguyên dương $n$

Vậy $n=2;p=5$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#94 Nguyen Van Hoang noob

Nguyen Van Hoang noob

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-05-2021 - 01:24

Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương

 

Ý tưởng phần số dư chia 3 gần giống đề thi thử Chuyên Sư phạm lần 1 năm nay

 

Lời giải:

Đặt $p^2-q^2-1=a^2 (a\in \mathbb{N})\\ \Leftrightarrow (p-q)(p+q)=a^2+1$

 

TH1: p,q không chia hết cho 3 thì p,q chia 3 dư 1 hoặc 2 

Nếu $p \equiv q (mod \ 3 ) \Rightarrow p-q \vdots 3$

Nếu $p\not\equiv q (mod \ 3 ) \Rightarrow p+q \equiv 1+2 \equiv 0 (mod \ 3 ) \Rightarrow p+q \vdots 3$

Suy ra $(p-q)(p+q) \vdots 3 \Rightarrow a^2+1 \vdots 3 \Rightarrow a^2 \equiv 2 (mod \ 3) (VL)$

 

TH2: p,q có ít nhất 1 số chia hết cho 3 . Mà p,q là số nguyên tố nên p=3 hoặc q=3

Nếu p=3 thì $(3-q)(3+q)=a^2+1 \Rightarrow q<3$ mà q là số nguyên tố, nên q=2

$\Rightarrow (3-2)(3+2)=a^2+1 \Rightarrow a^2=4 \Rightarrow a=2 (do \ a \in \mathbb{N})$

Nếu q=3 thì $(p-3)(p+3)=a^2+1 \Rightarrow p^2-a^2=10$

Vì p2,a2 là số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1 nên p2-a2 chia 4 dư 0 ,1 hoặc 3  

Mà 10 chia 4 dư 2 . Suy ra q=3 (loại)

 

Vậy phương trình có nghiệm nguyên tố duy nhất p=3;q=2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Hoang noob: 10-05-2021 - 01:24


#95 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi Hôm qua, 22:21

Bài tiếp theo cho mọi người đây:
$\boxed{136}$. Tìm số nguyên dương $m,n$ sao cho
$$3^m=2n^2+1$$

#96 pkh2705

pkh2705

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Vĩnh Yên - Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Số học-Tổ hợp-BĐT

Đã gửi Hôm nay, 07:32

$\boxed{137}$: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $x^{5}+2=3.101^{y}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pkh2705: Hôm nay, 07:33


#97 hnv

hnv

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi Hôm nay, 08:16

$\boxed{137}$: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $x^{5}+2=3.101^{y}$

Trước hết, thấy ngay y phải là số tự nhiên. Thật vậy nếu y<0 thì: VT>2 và VP<1 nên vô lí.

Từ đó suy ra x cũng phải là số tự nhiên.

Với x=0 thì VT=2=3.101y (vô lí).

Với x=1 thì VT=2+1=3=3.101y . Từ đây 101y=1 nên y=0( thỏa mãn).

Với x>1: thì VT>2+1=3 nên: 3.101y>3 hay 101y>1 nên y>0;

Nếu a chia hết cho 101 thì VT không chia hết cho 101 (2 không chia hết cho 101) và VP chia hết cho 101 (do y>0) (vô lí).

Do đó: a không chia hết cho 101 nên (a,101)=1. Từ đây áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: a101-1 đồng dư với 1 (mod 101)

hay a100 đồng dư với 1 (mod 101) (chứng minh định lý này đã có nhiều ở Internet).

Vì a5+2 =101y.3 nên a5 đồng dư với -2 (mod 101) suy ra a100 đồng dư với (-2)20 (mod 101) đồng dư với 10242 (mod 101)

đồng dư với 142 (mod 101) đồng dư với 196 (mod 101) đồng dư với 95 (mod 101) khác 1 nên vô lý.

Vậy: x=1;y=0.






5 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Bing (2)