$\boxed{101}$ Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số nguyên tố
[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021
#21
Đã gửi 10-04-2021 - 11:54
- Mr handsome ugly và Hoang72 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#22
Đã gửi 10-04-2021 - 20:22
Góp topic đề thi thử vào chuyên Toán PTNK sáng nay. Mong nhận được lời giải chi tiết, mình vẫn còn mơ hồ về bài này do trước nay chưa từng đụng tới số học.
$\boxed{93}$ Cho $m,n$ là các số nguyên dương sao cho $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m-n$ là một số lẽ.
a) Chứng minh hai số $m+3n$ và $5m+7n$ nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh $(m+3n)(5m+7n)$ không thể là một số chính phương.
Hôm nay rảnh, mình xin chia sẻ sol của một bạn trên facebook.
a) Đặt $(m+3n,5m+7n)=d.$ Ta có $m+3n=(m-n)+4n$ lẻ, tương tự $5m+7n$ lẻ. Vậy $d$ lẻ.
Có $5(m+3n)-(5m+7n) \vdots d\Rightarrow 8n \vdots d\Rightarrow n \vdots d.$
Tương tự $m\vdots d.$ Mà $(m,n)=1$ do đó $d=1.$ (đpcm)
b) Giả sử tích $(m+3n)(5m+7n)$ là một số chính phương thì
$$\left\{ \begin{array}{l} m + 3n = {a^2}\\ 5m + 7n = {b^2} \end{array} \right. \Rightarrow 5{a^2} - 8n = 5\left( {{a^2} - 3n} \right) + 7n = {b^2},$$ với $a,b$ lẻ.
Do $a,b$ lẻ nên $a^2,b^2\equiv 1$ (mod 8) từ đó $VT\equiv 5 (mod\, 8); VP\equiv 1 (mod\,8),$ mâu thuẫn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
- Mr handsome ugly, ChiMiwhh, DaiphongLT và 4 người khác yêu thích
#23
Đã gửi 10-04-2021 - 23:55
góp topic đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp tỉnh Quảng Ngãi
bài 94: tìm n lớn nhất để A=$4^{27}+4^{2021}+4^n$ là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 17-04-2021 - 22:06
- Mr handsome ugly yêu thích
#24
Đã gửi 11-04-2021 - 21:10
Bài 102
Tìm (a; b; p) với a, b $\in Z^{+}$, p là số nguyên tố sao cho 4p = b$\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$
- Mr handsome ugly và ChiMiwhh thích
ズ刀Oア
#25
Đã gửi 11-04-2021 - 21:32
$\boxed{101}$ Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số nguyên tố
Mình sẽ sol luôn:
Các số $a,b,c$ nguyên tố nên $a^{c-b}+c\geqslant 3$ và $c^a+b\geqslant 6$, điều này chứng tỏ $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số lẻ
Suy ra trong hai số $c^a$ và $b$ có một số lẻ, một số chẵn
* Nếu $b$ lẻ thì $c^a$ chẵn suy ra c chẵn ($c=2$) nên $a^{c-b}$ lẻ, mà dễ có $c\geqslant b$ nên $b = 2$ (loại vì $b$ lẻ)
* Nếu $b$ chẵn thì $b=2$ và $c^a$ lẻ hay $c$ lẻ suy ra a chẵn nên a = 2. Ta cần tìm số $c$ sao cho $2^{c-2}+c,c^2+2$ là các số nguyên tố
Nếu c > 3 thì $c^2$ chia 3 dư 1 nên $c^2+2$ chia hết cho 3 (loại). Vậy c = 3, thử vào $2^{c-2}+c$ ta thấy thỏa mãn
Vậy ta có bộ ba số nguyên tố (a,b,c) = (2,2,3)
Tiếp tục: $\boxed{103}$ Tìm các số nguyên tố $p, q$ sao cho $p + q$ và $p + 4q$ là các số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 11-04-2021 - 21:44
- Mr handsome ugly và Hoang72 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#26
Đã gửi 12-04-2021 - 16:15
Bài 97:
Theo giả thuyết $\left\{\begin{matrix} x=za\\y=zb \\ a;b\in N*; (a,b)=1 \end{matrix}\right.$
Phương trình bài ra trở thành $za+z^{2}b^{2}+z^{3}=z^{3}ab\Leftrightarrow a+zb^{2}+z^{2}=z^{2}ab\Leftrightarrow a=z(zab-z-b^{2})$, suy ra a chia hết cho z.$\Rightarrow a=zk (k\in N*)$
Phương trình bài ra trở thành $zk+zb^{2}+z^{2}=z^{3}kb \Leftrightarrow k+b^{2}+z=z^{2}kb \Leftrightarrow k+z=b(z^{2}k-b)$
Đặt$z^{2}k-b=m\; (m \in N*)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} mb=k+z\\ m+b=z^{2}k \end{matrix}\right.$
$mb-m-b+1=k+z-z^{2}k+1=z+1-k(z-1)(z+1)=(z+1)(1-k(z-1))$
Do $mb-m-b+1=(m-1)(b-1)\geqslant 0 \; \forall m,b\in N* \Rightarrow (z+1)(1-k(z-1))\geq 0\Rightarrow k(z-1)\leqslant 1$
dễ thấy $k(z-1)\geqslant 0\; \forall k,z \in N*$
Khi đó xét hai trường hợp sẽ tìm ra được x;y
.
Đáp số: $(x;y)\in \left \{ (5;3);(5;2);(4;2);(4;6) \right \}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanjunior: 13-04-2021 - 11:24
- Mr handsome ugly và Hoang72 thích
#27
Đã gửi 12-04-2021 - 23:29
Bài 102
Tìm (a; b; p) với a, b $\in Z^{+}$, p là số nguyên tố sao cho 4p = b$\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$
Đầu tiên xét trường hợp $p=2$. Ta thấy khi đó b chẵn và cũng dễ dàng chứng minh là không có cặp $(a,b)$ nào thỏa trường hợp trên.
Xét trường hợp $p$ lẻ. Gọi $\gcd (a,b)=d$ suy ra $a=da_1,b=db_1$ với $\gcd (a_1,b_1)=1$. Ta có $p= \frac b4 \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$.
TH1: Nếu $p \mid 2a_1-b_1$, vì $\gcd (2a_1-b_1,2a_1+b_1) \mid 2^k$ nên $p^2 \mid 2a_1-b_1$. Đặt $2a_1-b_1=p^2k$ với $k \in \mathbb{N}$ suy ra $\sqrt{\frac{b^2k}{(p^2k+2b_1)16}}=1$ hoặc $k= \frac{32b_1}{b^2-16p^2}$. Nếu tồn tại số nguyên tố $q \mid b_1, 2 \nmid q$ and $q \mid b^2-16p^2$, thì ta được $p=q$. Nếu $v_p(b_1)=1$ suy ra $p^2 \mid b^2-16p^2$, dẫn đến điều mâu thuẫn. Vì vậy, $p^2 \mid b_1$. Đặt $b_1=p^x2^y$ suy ra $k= \frac{32p^{x-2}2^y}{d^2p^{2x-2}2^{2y}-16}$. Vì $x \ge 2$ nên $(dp^{x-1}2^y-4)(dp^{x-1}2^y+4) \mid 32 \cdot 2^y$. Ta có được $dp^{x-1}2^y=12$ nên $p=3,x=2,2^yd=4$ và $2^7\mid 32 \cdot 2^y$ so $y \ge 2$. Do đó, $d=1,y=2,p=3,x=2$ nên $b=db_1=36$. Từ đó $k=1$. Vậy $2a_1=45$, vô lí.
Cho nên không tồn tại $q$ thỏa $b^2-16p^2=2^x \mid 32b_1$. Để ý rằng $2a_1=b_1+p^2k$ nên $\gcd (k,b_1) \mid 2^x$. Hơn nữa, if $2 \mid b_1$ nên $2 \nmid a_1$. Điều này có nghĩa là $v_2(b_1)=1$ nên $4 \mid k$. Hoặc nếu $v_2(b_1)=2$ thì $v_2(k)=1$. Vì vậy ta luôn có $b^2-16p^2 \mid 64$. Suy ra được rằng $4 \mid b, b=4b_2$ cho nên $b_2^2- p^2\mid 4$.Trong trường hợp này ta không tìm được số nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài.
TH2: Nếuf $p \mid b$ suy ra $\gcd (2a_1-b_1,2a_1+b_1) \mid 2^k$ nên$2a_1-b_1=2^x, 2a_1+b_1=2^y$. Điều này cho ta $b_1=2^{x-1}\left(2^{y-x}-1 \right)$ nên $\frac{d \cdot 2^{x-1} \left( 2^{y-x}-1 \right)}{4 \cdot 2^{(y-x)/2}}=p$.
Do đó, nếu $p \mid d$ thì $2^{y-x}-1=1$ nên $y-x=1$, dẫn đến điều mâu thuẩn vì $2 \mid y-x$. Nếu $p \mid 2^{y-x}-1$ thì $d=1$ và $2+(y-x)/2=x-1$ hoặc $3x-6=y$. Do đó $2^{y-x}-1=2^{2x-6}-1=4^{x-3}-1$. Vậy $p=3,x=4,y=6$.
- Mr handsome ugly, ChiMiwhh, KietLW9 và 2 người khác yêu thích
#28
Đã gửi 13-04-2021 - 19:26
bài 104 :$a,b,c,d\epsilon \mathbb{N}, a< b< c< d, ad=bc.CMR (d-a)^{2}\geq 4a+8$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen vu1: 13-04-2021 - 19:42
- Mr handsome ugly yêu thích
#29
Đã gửi 13-04-2021 - 19:46
Mình sẽ sol luôn:
Các số $a,b,c$ nguyên tố nên $a^{c-b}+c\geqslant 3$ và $c^a+b\geqslant 6$, điều này chứng tỏ $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số lẻ
Suy ra trong hai số $c^a$ và $b$ có một số lẻ, một số chẵn
* Nếu $b$ lẻ thì $c^a$ chẵn suy ra c chẵn ($c=2$) nên $a^{c-b}$ lẻ, mà dễ có $c\geqslant b$ nên $b = 2$ (loại vì $b$ lẻ)
* Nếu $b$ chẵn thì $b=2$ và $c^a$ lẻ hay $c$ lẻ suy ra a chẵn nên a = 2. Ta cần tìm số $c$ sao cho $2^{c-2}+c,c^2+2$ là các số nguyên tố
Nếu c > 3 thì $c^2$ chia 3 dư 1 nên $c^2+2$ chia hết cho 3 (loại). Vậy c = 3, thử vào $2^{c-2}+c$ ta thấy thỏa mãn
Vậy ta có bộ ba số nguyên tố (a,b,c) = (2,2,3)
Tiếp tục: $\boxed{103}$ Tìm các số nguyên tố $p, q$ sao cho $p + q$ và $p + 4q$ là các số chính phương.
Ta có $p+q=x^{2};$$p+4q=y^{2}$$\Rightarrow (y-x)(y+x)=3q$
Ta có
$$q=2\Rightarrow p+2=x^2, p+6=y^2$$
$$\Rightarrow 4=(y-x)(y+x) q=3$$
$$\Rightarrow (y-x)(y+x)=9 q>3$$
$$\Rightarrow \left((y-x),(y+x)\right)=d$$
$$\Rightarrow 2y\vdots d; 3q\vdots d$$
$$\Rightarrow d=1\Rightarrow y-x=3,y+x=q \Rightarrow p=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$$
Suy ra $x=4\Rightarrow p=5.$
Từ đó ta tìm được $q$
@tthnew: Mình đã chữa lại $\LaTeX$ cho bạn, mà bạn xem lại dòng in đỏ xem, mình thấy sao sao ấy?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 16-04-2021 - 10:42
- Mr handsome ugly yêu thích
#30
Đã gửi 14-04-2021 - 12:24
$\boxed{105}$Chứng minh $2^a+29^b$ không chia hết cho 23 với $a,b$ nguyên dương
- Mr handsome ugly, DaiphongLT và Hoang72 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#31
Đã gửi 14-04-2021 - 18:27
$\boxed{105}$Chứng minh $2^a+29^b$ không chia hết cho 23 với $a,b$ nguyên dương
bài này mình nghĩ đưa về $2^{a} +6^{b}$ chia hết cho 23 mà $6^{11} \equiv 2^{11} \equiv 1\, (\texttt{mod}\, 23)$ xong từ đấy thử $1$ đến $11$ thì ta sẽ thấy không thể chia hết cho $23.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 15-04-2021 - 18:06
Edit $\LaTeX.$
- Mr handsome ugly yêu thích
#32
Đã gửi 15-04-2021 - 17:03
Bài 91: Tìm nghiệm nguyên là các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn
$p+q=(p-q)^3$
$pt<=>2q+(p-q)=(p-q)^{3}<=>2q=(p^2-2pq+q^2-1)(p-q)$
Vì $VT > 0 => VP >0 => p> q$
+) $q=2=>...$
+) Với $(2,q)=1 => \left\{\begin{matrix} p-q=1\\p^2-2pq+q^2-1=2p \end{matrix}\right. ,\left\{\begin{matrix} p-q=2\\p^2-2pq+q^2-1=p \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} p-q=p\\p^2-2pq+q^2-1=2 \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} p-q=2p\\p^2-2pq+q^2-1=1 \end{matrix}\right.=> p=5,q=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mEgoStoOpid: 17-04-2021 - 05:34
- Mr handsome ugly, DaiphongLT và CloudSup thích
#33
Đã gửi 15-04-2021 - 17:22
$\boxed{96}$ Với m > n và m, n là các số nguyên lẻ. Chứng minh nếu $\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}$ là số nguyên thì $m^2-n^2+1$ là số chính phương.
$\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}$ thuộc $Z<=> \frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}+1$ thuộc $Z<=> m^{2}=k(n^{2}-1)$
+) $n=1=>m^{2}-n^{2}+1=m^{2}$ (ĐFCM)
+) $n\neq 1=>n^{2}-1$ chẵn => m chẵn (sai với giả thiết)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mEgoStoOpid: 15-04-2021 - 20:20
- Mr handsome ugly, Hoang72 và CloudSup thích
#34
Đã gửi 15-04-2021 - 19:13
$ta có p+q=x^{2}
p+4q=y^{2}
=>(y-x)(y+x)=3q
ta có
q=2
=>p+2=x^2, p+6=y^2
=>4=(y-x)(y+x) q=3
=>(y-x)(y+x)=9 q>3
=>((y-x),(y+x))=d
=>2y\vdots d 3q\vdots d
=>d=1
=>y-x=3,y+x=q
=>p=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
=>x=4
=>p=5
=> ta tìm được q$
$\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1} \euro Z<=> \frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}+1 \euro Z<=> m^{2}=k(n^{2}-1)$
+) $n=1=>m^2-n^2+1=m^2$ (đfcm)
+) $n\neq 1=>n^{2}-1$ chẵn => m chẵn (sai với giả thiết)
$pt<=>2q=(p^{2}-2pq+q^{2}-1)(p-q)$
Dễ c/m p>q
+) $q=2=>...$
+) Với (2,q)=1 => .... => p=5,q=3
Mong các bạn chỉnh sửa lại lỗi latex cho bài viết được hoàn chỉnh riêng bài giải bài 91 nên được gõ rõ ràng ra cho dễ hiểu (tránh làm tắc nhé em )
Sau đây là một vài bài mới của TOPIC:
Bài 105: Tìm 2 số nguyên tố p;q sao cho $p^{2}-q+2q^{2}$ và $2p^{2}+pq+q^{2}$ nguyên tố cùng nhau
Bài 106: Chứng minh rằng $5^{3n+2}+2^{2n+3}$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n
Bài 107:Cho số tự nhiên n và số p nguyên tố sao cho p-1 chia hết cho n và $n^{3}-1$ chia hết cho p. Chứng minh rằng n+p là số chính phương.
Bài 108: a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương x!+y!=(x+y)!
b) Giải nghiệm nguyên dương $x!+y!+z!=u!$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 15-04-2021 - 21:54
- DaiphongLT và mEgoStoOpid thích
#35
Đã gửi 15-04-2021 - 19:44
$\boxed{105}$Chứng minh $2^a+29^b$ không chia hết cho 23 với $a,b$ nguyên dương
Mình xin đưa ra lời giải của mình:
Giả sử $2^a+29^b\vdots 23$
$\Rightarrow 4^b(2^a+29^b)\vdots 23$
$\Rightarrow 2^{2b+a}+1+116^b-1\vdots 23$
Mà dễ có: $116^b-1\vdots 116-1\vdots 23$ nên $2^{2b+a}+1\vdots 23$
Đặt $2b + a = 11n + r$ (n là số tự nhiên; $0\leqslant r\leqslant 10$)
Ta có: $2^{11n+r}+1=2^r(2^{11n}-1)+2^r+1$. Do $2^{11}-1=2047\vdots 23$ nên $2^r+1\vdots 23$(*)
Thử r từ 0 đến 10 thì không có số nào thỏa mãn (*)
Vậy điều giả sử là sai
Ta có điều phải chứng minh
- Mr handsome ugly, DaiphongLT, mEgoStoOpid và 1 người khác yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#36
Đã gửi 15-04-2021 - 20:10
$\boxed{109}$Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $a+\frac{1}{bc},b+\frac{1}{ca},c+\frac{1}{ab}$ là những số nguyên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=a+b^2+c^3$
- Mr handsome ugly, DaiphongLT và mEgoStoOpid thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#37
Đã gửi 15-04-2021 - 21:01
$\boxed{110}$Cho n là số nguyên dương chia hết cho 4 và k là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: $\frac{1^k+2^k+3^k+...+n^k}{2}$ là số tự nhiên chia hết cho $n+1$
$\boxed{111}$Tìm các số tự nhiên n sao cho dãy số $n+9;2n+9;3n+9;4n+9;...$ không chứa số chính phương nào
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-04-2021 - 21:20
- Mr handsome ugly và mEgoStoOpid thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#38
Đã gửi 15-04-2021 - 22:11
$\boxed{112}$ (AIME 2021) Tìm tất cả các cặp (được sắp xếp) $(m,n)$ sao cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương thuộc tập hợp {$1,2,...,30$} và ước chung lớn nhất của $2^m+1$ và $2^n-1$ khác $1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 15-04-2021 - 22:11
- DaiphongLT, mEgoStoOpid và narutosasukevjppro thích
#39
Đã gửi 15-04-2021 - 23:13
Mong các bạn chỉnh sửa lại lỗi latex cho bài viết được hoàn chỉnh riêng bài giải bài 91 nên được gõ rõ ràng ra cho dễ hiểu (tránh làm tắc nhé em )
Sau đây là một vài bài mới của TOPIC:
Bài 105: Tìm 2 số nguyên tố p;q sao cho $p^{2}-q+2q^{2}$ và $2p^{2}+pq+q^{2}$ nguyên tố cùng nhau
Bài 106: Chứng minh rằng $5^{3n+2}+2^{2n+3}$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n
Bài 107:Cho số tự nhiên n và số p nguyên tố sao cho p-1 chia hết cho n và $n^{3}-1$ chia hết cho p. Chứng minh rằng n+p là số chính phương.
Bài 108: a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương x!+y!=(x+y)!
b) Giải nghiệm nguyên dương $x!+y!+z!=u!
106.ta có $5^{3} \equiv4(mod11)$ =>$5^{3n+2}+2^{2n+3}\equiv 4^{n} (3+8)\equiv 0(mod11)$ =>ĐPCM
- DaiphongLT và mEgoStoOpid thích
#40
Đã gửi 15-04-2021 - 23:30
lần đầu em gõ latex nên đến lúc hiển thị nó bị lỗi ạ
Mong các bạn chỉnh sửa lại lỗi latex cho bài viết được hoàn chỉnh riêng bài giải bài 91 nên được gõ rõ ràng ra cho dễ hiểu (tránh làm tắc nhé em )
Sau đây là một vài bài mới của TOPIC:
Bài 105: Tìm 2 số nguyên tố p;q sao cho $p^{2}-q+2q^{2}$ và $2p^{2}+pq+q^{2}$ nguyên tố cùng nhau
Bài 106: Chứng minh rằng $5^{3n+2}+2^{2n+3}$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n
Bài 107:Cho số tự nhiên n và số p nguyên tố sao cho p-1 chia hết cho n và $n^{3}-1$ chia hết cho p. Chứng minh rằng n+p là số chính phương.
Bài 108: a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương x!+y!=(x+y)!
b) Giải nghiệm nguyên dương $x!+y!+z!=u!$
mình thấy bài 105 và 107 hình như có trên forum rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen vu1: 15-04-2021 - 23:47
- DaiphongLT và mEgoStoOpid thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh