Why k chẵn thì nó lại bằng như thế
VT, VP là tích 2 số chẵn lẻ mà 2 vế = nhau nên nó phải = như vậy chứ
Why k chẵn thì nó lại bằng như thế
VT, VP là tích 2 số chẵn lẻ mà 2 vế = nhau nên nó phải = như vậy chứ
ズ刀Oア
$\boxed{119}$Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x-y)^{30}+5(y-z)^4+(z-x)=2021$
P/s: Bài này tương đối dễ vì thực chất nó xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi toán 8 của một huyện ờ Hà Tĩnh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:21
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Bài 120: tìm bộ ba số nguyên tố (p;q;r) sao cho pqr=p+q+r+200
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:21
VT, VP là tích 2 số chẵn lẻ mà 2 vế = nhau nên nó phải = như vậy chứ
lỡ k+1 = m.n với m ,n lẻ thì ta vẫn có thể tách thành
k.m (chẵn) và n hoặc k.n(chẵn) và m
$\boxed{119}$Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x-y)^{30}+5(y-z)^4+(z-x)=2021$
P/s: Bài này tương đối dễ vì thực chất nó xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi toán 8 của một huyện ờ Hà Tĩnh
Ta có:
$(x-y)^{30}\equiv x-y (mod\ 2); 5(y-z)^4\equiv (y-z)^4\equiv y-z (mod\ 2)\\ \Rightarrow (x-y)^{30}+5(y-z)^4+z-x \equiv x-y+y-z+z-x = 0 (mod\ 2)\\ \Rightarrow 2021\equiv 0 (mod\ 2) (VL)$
Vậy không tồn tại nghiệm nguyên của phương trình
Bài 114: Tìm tất cả các số x, y $\in N$ thỏa mãn $85^x-y^4=4$
Ta có
**: x chẵn . dễ chỉ ra vô nghiệm
**: x lẻ
$85^x=(y^2+2y+2)(y^2-2y+2)$
Đặt $d=UCLN(y^2+2y+2;y^2-2y+2)$
nên $4y\vdots d$
Trường hợp d chẵn thì $85^x$ chẵn(Vô lí)
Trường hợp $y\vdots d$ thì $85^x\vdots d$ nên $4\vdots d$
Nên $d=1$
Lại có $y^2+2y+2>y^2-2y+2$
Áp dụng bổ đề
$a^b=xy$ với $(x,y)=1$ thì $x=(x_1)^b$ và $y=(y_1)^b$ với $(x_1,y_1)=1$. Chứng minh ở topic cũ
Ta có $y^2+2y+2=17^x$
$y^2-2y+2=5^x$
Trừ vế theo vế, ta có
$4y=17^x-5^x$
Thế lại vào phương trình gốc
với $(a,b)=(17^x,5^x)$
Ta có $(a-b)^4-1024-256ab=0$ tương đương
$(a^2-2ab+b^2+8a+8b+32)(a^2-2ab+b^2-8a-8b+32)=0$ đến đây giải dễ rồi nhỉ
Ko biết cách này vào phòng thi được ko
Vừa chợt kiếm ra ý tưởng khi giải TH sau, Có thể chặn được x
Bài 120: tìm bộ ba số nguyên tố (p;q;r) sao cho pqr=p+q+r+200
Cho em xin phép được gõ không Latex bài viết này ạ, em cảm ơn!
Ta có: pqr = p+q+r+200 (*)
<=> 1/pq+1/qr+1/rp +200/pqr =1 (1)
Vì p,q,r có vai trò như nhau, ta giả sử p>=q>=r
Từ (1) => 1<= 3/r^2 + 200/r^3 (2)
TH1: r>=7 => 3/r^2 +200/r^3 <= 3/49 + 200/343 < 1 (trái (2)) -> loại
TH2: r<=6. Mà r là số nguyên tố nên r bằng 2,3 hoặc 5
+) r=2 thì (*) có dạng:
p+q+202=2pq
<=> 2p+2q+404 =4pq
<=> (2p-1)(2q-1) = 405
Vì p>= q>=2 ; p,q là số nguyên tố. Ta giải các trường hợp rồi thử lại ta được
(p,q) thuộc { (41;3) ; (23;5)}
+) r=3 thì (*) có dạng :
p+q+203 = 3pq
<=> (3p-1)(3q-1) = 610
Vì p>=q>=3 ; p,q là số nguyên tố . Ta xét các trường hợp -> vô nghiệm nguyên tố
+) r=5 thì (*) có dạng :
p+q+205 = 5pq
<=> (5p-1)(5q-1) = 1026
Vì p>=q>=5; p,q là số nguyên tố. Ta xét các trường hợp -> vô nghiệm nguyên tố.
Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên tố p,q,r thuộc (2;3;41);(2;5;23) và hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Hoang noob: 28-04-2021 - 03:08
Vừa chợt kiếm ra ý tưởng khi giải TH sau, Có thể chặn được x
Bài này cũng có 1 cách đồng dư khác nhưng chủ yếu là biến đổi giống chimiwwhh
ズ刀Oア
Bài 117: Tìm $x\in Z^+$ và p là số nguyên tố sao cho $7^p-4^p=31x^2$
Ngồi hay đứng thử $p=2,3$ ta có $p=3$ thỏa mãn
Xét $p>3$
TH1: $p=3k+1$ nên
$7.343^k-4.64^k\equiv 2^k(7-4)\equiv 0(mod31)$ vô lí
tương tự TH còn lại
Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoinguyen2007: 04-05-2021 - 10:40
Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương
Đặt $p^2-q^2-1=k^2$ ($k$ là số nguyên)
$\Rightarrow (p+q)(p-q)=k^2+1$
Nếu $p$ và $q$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì $(p+q)(p-q)\vdots 4$ suy ra $k^2$ chia 4 dư 3 (vô lí vì số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1)
Vậy trong hai số $p,q$ có 1 số chẵn, 1 số lẻ mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và $p>q$ nên q = 2
Khi đó $(p+k)(p-k)=5=1.5=5.1=(-1).(-5)=(-5).(-1)$
Xét các trường hợp tìm được $p=3$
Vậy cặp số nguyên tố duy nhất thỏa mãn là $(p,q)=(3,2)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Mình xin đóng góp 2 bài:
$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$ không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)
$\boxed{\textsf{Bài 123}}$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a$, tổng:
$P = (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 + ...... + (a+99)^2$ không thể viết dưới dạng luỹ thừa lớn hơn $1$ của một số nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viscolt0801: 04-05-2021 - 15:51
I hate Mathematics !!!
Mình xin đóng góp 2 bài:
$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$ không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)
Em xin thử, không biết có đúng không
Lời giải:
n là một lập phương đúng nên ta đặt $n=a^3$ $(a\geqslant 1;a\in N)$
Khi đó $n^2+3n+3=a^6+3a^3+3$
Ta có: $(a^6+3a^3+3)-(a^2)^3=3a^3+3>0\Rightarrow a^6+3a^3+3>(a^2)^3$
$(a^2+1)^3-(a^6+3a^3+3)=3a^3(a-1)+(3a^2-2)>0\Rightarrow (a^2+1)^3>a^6+3a^3+3$
Vậy $(a^2)^3<a^6+3a^3+3<(a^2+1)^3$ nên không thể là lập phương đúng (đpcm)
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Mình xin đóng góp 2 bài:
$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$ không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)
1 cách suy nghĩ khác
Giả sử $n^2+3n+3$ là một lập phương đúng thì $n(n^2+3n+3)$ cũng là lập phương đúng (vì n là lập phương đúng)
$\Rightarrow n(n^2+3n+3)=n^3+3n^2+3n$
Mà $n\in Z^{+}\Rightarrow n^3< n^3+3n^2+3n< (n+1)^3$
Từ đó có kết luận
ズ刀Oア
Em xin góp một bài!
$\boxed{124}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $a^b+b^a=a!+b!$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Góp cho các bạn một bài hay nhưng dễ:
Bài 125: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số 2019 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.
*Nếu được hãy giải quyết luôn trường hợp tổng quát: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số nguyên dương $n$ thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.
P/S: Vì dạo này mình khá bận nên không đăng bài nhiều cho các bạn được; mong thời gian tới các bạn tự quản lí TOPIC mình sẽ cố gắng hết sức đăng bài khi rảnh !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 07-05-2021 - 11:05
Bài 126: Tìm x, y, z là các số tự nhiên, p là số nguyên tố thỏa $x^3+y^3=p^z$
P/s: không biết đã có ở topic cũ chưa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:22
ズ刀Oア
Bài 126: Tìm x, y, z là các số tự nhiên, p là số nguyên tố thỏa $x^3+y^3=p^z$
P/s: không biết đã có ở topic cũ chưa
Bài này đã có rồi nhé, đây là bài gốc: 'Tìm $x, y, n, p$ là các số tự nhiên, p là số nguyên tố thỏa $x^3+y^3=p^n$', và đây là lời giải (không sử dụng LTE):
Lời giải:
Đặt $gcd(a, b)=d$ suy ra $d|p^n$ do đó $d$ là lũy thừa của $p$
Suy ra đặt $a=xp^k$ và $b=yp^k$ với $x$ và $y$ là các số tự nhiên, $k$ là số tự nhiên và $gcd(x, y)=1$
Suy ra $x^3+y^3=p^{n-3k}$ cho nên đặt $m=n-3k$ suy ra $m$ tự nhiên.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\leq y$
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^m$
$gcd(x+y, x)=gcd(x, y)=gcd(x+y, y)=1$ nên $gcd(x+y, xy)=1$
Suy ra $gcd(x+y, x^2-xy+y^2)=gcd(x+y, 3xy)=gcd(x+y, 3)$
Nếu $3\not|x+y$ thì $x+y$ và $x^2-xy+y^2$ là lũy thừa bậc nguyên tố cùng nhau của $p$
Do đó $x+y>1$ so $x^2-xy+y^2=1$
Suy ra $0\leq(x-y)^2=1-xy\leq 0$ nên $x-y=0$ vì thế $x=y=1$ vì $x$, $y$ nguyên tố cùng nhau. Suy ra $p^m=2$ $\Rightarrow$ $p=2$ và $m=1$
Mặt khác $3|x+y$ nên $3|x^2-xy+y^2$ và $p=3$
Suy ra $\frac{x+y}{3}$ và $\frac{x^2-xy+y^2}{3}$ là lũy thừa bậc nguyên tố cùng nhau của $3$
Suy ra $\frac{x+y}{3}=1$ hoặc $\frac{x^2-xy+y^2}{3}=1$
Với $\frac{x+y}{3}=1$ $\Rightarrow$ $x=1$, $y=2$ và $m=2$
Với $\frac{x^2-xy+y^2}{3}=1$ $\Rightarrow$ $(x-y)^2=3-xy$ suy ra $xy=2$ $\Rightarrow$ $x=1$, $y=2$ và $m=2$
Do đó $(x, y, p, m)=(1, 1, 2, 1); (1, 2, 3, 2); (2, 1, 3, 2)$
Vậy $(a, b, p, n)=(2^k, 2^k, 2, 3k+1); (3^k, 2\cdot 3^k, 3, 3k+2); (2\cdot 3^k, 3^k, 3, 3k+2)$ với $k$ là số tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 07-05-2021 - 11:06
Những bài tiếp theo cho TOPIC đây các bạn!
Bài 127: Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ nguyên dương
a) Chứng minh rằng mọi ước số của $M$ đều lẻ
b) Tìm $a$ sao cho M chia hết cho 5. Với giá trị nào thì $M$ là lũy thừa của 5
Bài 128: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 5 . Chứng minh rằng số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $n$ và không vượt quá $n$ luôn là số chẵn ( tính luôn cả số 1) .
Bài 129: Tìm các số nguyên $x;y$ sao cho $xy+2\mid x^{2}-2$
Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$ . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$
*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên
Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$
a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa
b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa
c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương
Bài 132: Tìm các số $x;y$ nguyên dương sao cho $(y-1)!+1=y^{x}$
Bài 133: Tìm số $n$ nguyên dương lớn hơn 1 bé nhất sao cho với mọi số thực $x\geq 2$ ; nếu $[x^{2}];[x^{3}];...; [x^{n}]$ là số chính phương thì $[x]$ cũng là số chính phương biết kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất sao cho $[x]<x$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 09-05-2021 - 10:39
Những bài tiếp theo cho TOPIC đây các bạn!
Bài 127: Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ nguyên dương
a) Chứng minh rằng mọi ước số của $M$ đều lẻ
b) Tìm $a$ sao cho M chia hết cho 5. Với giá trị nào thì $M$ là lũy thừa của 5
a) Do M = a(a + 3) + 1 và trong hai số a, a + 3 tồn tại 1 số chẵn nên M lẻ. Suy ra mọi ước của M đều lẻ.
b) $M\vdots 5 \Leftrightarrow a^2+3a-4\vdots 5\Leftrightarrow (a-1)(a+4)\vdots 5\Leftrightarrow a\equiv 1(mod5)$.
Để M là lũy thừa của 5 thì $M=a^2+3a+1=5^x(x\in\mathbb{N*})$.
Do $a\equiv 1(mod5)$ nên $a\equiv 1; 6; 11; 16; 21(mod 25)$. Suy ra $a^2+3a+1\equiv 5(mod 25)$. Do đó x = 1 nên a = 1.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 07-05-2021 - 12:05
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh