Chủ đề này có 167 trả lời

[Hoang72]

$\boxed{139}$: Tìm các số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $2^x+5^y+2$ là số chính phương

+) x = 1: Ta có $4+5^y=a^2\Rightarrow 5^y=(a-2)(a+2)\Rightarrow a-2=5^u;a+2=5^v\Rightarrow u=0\Rightarrow a=3\Rightarrow y=1$

+) x = 2: Dễ thấy $2^x+5^y+2\equiv 3(mod4)$ nên không là số chính phương.

Vậy x = y = 1.

[LegendNeverrDie]

$\boxed{139}$: Tìm các số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $2^x+5^y+2$ là số chính phương

• Nếu $x>1 \Rightarrow 2^x \vdots 4 \Rightarrow 2^x+5^y+2 \equiv 3 (mod 4)$.(loại vì SCP ko chia 4 dư 3)
• Nếu $x=1$ ta có $5^y+4=a^2$(Với a nguyên dương)

$\Leftrightarrow 5^y=(a-2)(a+2)$

Mà 5 là số nguyên tố nên $a-2=5^k$ và $a+2=5^t$ (Với $t>k$ và t,k là các số nguyên không âm)

$\Rightarrow 5^kt-5^k=4 \Rightarrow 5^k(5^{t-k}-1)=4$

• Nếu $k>0 \Rightarrow 5^k \vdots 5$. Mà $5^{t-k} -1$ là số nguyên $5^k(5^{t-k}-1) \vdots 5 \Rightarrow 4 \vdots 5 \Rightarrow$ vô lí 
• Nếu $k=0 \Rightarrow a=3 \Rightarrow t=1 \Rightarrow y=1$

Vậy ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-05-2021 - 13:27
LaTeX

[hnv]

$\boxed{139}$: Tìm các số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $2^x+5^y+2$ là số chính phương

Xét $x=1$ khi đó: $5^{y}+4$ là số chính phương.

$\Rightarrow 5^y+4=a^2$ với a là số nguyên dương.

$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)=5^y$.

Từ đây suy ra: $a-2=5^l;a+2=5^k$(k,l là các số nguyên dương và k>l); Mặt khác: $a+2-(a-2)=4=5^k-5^l$ và k>l nên

$k=1;l=0$. Khi đó: a=3 và y=1 (thỏa mãn).

Xét x>1 khi đó: $5^y\equiv 1 (mod 4) ; 2^x\equiv 0(mod 4)$ nên $2^x+5^y+2\equiv 0+1+2\equiv 3(mod 4)$

nên không thể là số chính phương.

Vậy:$x=y=1$.

[Hunghcd]

$\boxed{139}$: Tìm các số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $2^x+5^y+2$ là số chính phương

Ta có $2^{x}+5^{y}+2\equiv 2^{x}+3$(mod 4)

Nếu $x\geq 2$$\rightarrow$ $2^{x}+3\equiv 3(mod4)$$\rightarrow$loại

Vậy x=1.Đặt $5^{y}+4=a^{2}$

$\rightarrow 5^{y}=(a-2)(a+2)$

Vì a-2,a+2ko đồng thời chia hết cho 5$\rightarrow$a+2=$5^{y}$,a-2=1$\rightarrow$a=3

$\rightarrow y=1$

Vậycó (x;y)=(1;1)

Ồ hnv đã làm trc r à mình ko kịp cập nhật 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 21-05-2021 - 11:24

[pcoVietnam02]

$\boxed{140}$ Tìm tất cả số nguyên dương $x,y,z$ và số nguyên tố $p$ sao cho $(2x+3y)(3x+2y)=p^z$

[hnv]

$\boxed{140}$ Tìm tất cả số nguyên dương $x,y,z$ và số nguyên tố $p$ sao cho $(2x+3y)(3x+2y)=p^z$

Ta có:

 

 

$(2x+3y)(3x+2y)=p^z\Rightarrow 2x+3y=p^a;3x+2y=p^b$(với a,b là các số nguyên dương).

Không mất tính tổng quát giả sử: $x\geq y\Rightarrow 3x+2y\geq 2x+3y\Leftrightarrow p^a\geq p^b\Rightarrow p^a$ chia hết cho $p^b$

Nếu $a>b\Rightarrow 3x+2y\geq p(2x+3y)\geq 2(2x+3y)=4x+6y$(vô lí).

Do đó: a=b.

$\Rightarrow x=y\Rightarrow 5x.5x=25x^2=p^z\Rightarrow p$ chia hết cho 5 nên $p=5$

$\Rightarrow x^2=5^{z-2}\Rightarrow z$ chẵn nên $z=2k$( k là số nguyên dương)$\Rightarrow x=y=5^{k-1}$.

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy:$x=y=5^{k-1};p=5;z=2k$.

[pkh2705]

$\boxed{141}$: Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(x;y;p)$ với $p$ là số nguyên tố và $x\neq y$ sao cho:

$x^4-y^4=p(x^3-y^3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pkh2705: 21-05-2021 - 19:25

[Hoang72]

$\boxed{141}$: Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(x;y;p)$ với $p$ là số nguyên tố và $x\neq y$ sao cho:

$x^4-y^4=p(x^3-y^3)$

Giả thiết tương đương với $(x+y)(x^2+y^2)=p(x^2+xy+y^2)$.

Đặt $(x, y)=d$;$x=da; y=dy$. Ta có $(a+b)(a^2+b^2)=dp(a^2+ab+b^2)$. Từ đó $(a+b)(a^2+b^2)\vdots a^2+ab+b^2$. Mà $(a+b,a^2+ab+b^2)=1$ nên $a^2+b^2\vdots a^2+ab+b^2\Rightarrow ab\vdots a^2+ab+b^2\Rightarrow a=0 or b=0$.

Giả sử a = 0 thì x = 0. Khi đó p = y.

Vậy (x, y, p) = (0, k, k) hoặc (k, 0, k) trong đó k là số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 21-05-2021 - 19:44

[hnv]

$\boxed{141}$: Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(x;y;p)$ với $p$ là số nguyên tố và $x\neq y$ sao cho:

$x^4-y^4=p(x^3-y^3)$

Xét x=0, ta có: y=p(thỏa mãn).

Xét y=0 ta có x=p(thỏa mãn).

Xét x>0; y>0 ta có:

Gọi $d=(x,y)(x=dx';y=dy'((x',y')=1))$. (x',y' nguyên dương).

$\Rightarrow d^3(x'^3-y'^3)p=d^4(x'^4-y'^4)$.

$\Leftrightarrow (x'^3-y'^3)p=d(x'^4-y'^4)$.

$\Leftrightarrow p(x'^2+x'y'+y'^2)=d(x'+y')(x'^2+y'^2)$.

$\Rightarrow p>d$. Nếu cả 2 thừa số ở vế phải đều chia hết cho p thì: 

$x'+y';x'^2+y'^2;x'^2+x'y'+y'^2$ đều chia hết cho p.

$\Rightarrow x'y';x'+y'$ cùng chia hết cho p nên $x';y'$ cùng chia hết cho p(vô lí).

$\Rightarrow x'^2+x'y'+y'^2$ chia hết cho $x'+y'$ hoặc $x'^2+y'^2$.

Nếu: $x'^2+x'y'+y'^2$ chia hết cho $x'^2+y'^2$. Điều này không thể xảy ra do: $x\neq y$.

Nếu $x'^2+x'y'+y'^2$ chia hết cho $x'+y'$ $\Rightarrow x'y'$ chia hết cho $x'+y'$.( mà: $(x',x'+y')=1;(y',x'+y')=1$ nên loại).

Vậy các nghiệm của phương trình là: x=p;y=0 (với p là số nguyên tố); y=p;x=0( với p là số nguyên tố).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hnv: 21-05-2021 - 19:48

[Hoang72]

Em xin đăng một bài ạ:

$\boxed{142}$: Cho $n,k\in\mathbb{N*};k< n$. Chứng minh rằng: $n.(n-1)...(n-k+1)\vdots 1.2...k$.

[LMQCZ]

Bài 143: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $( q + p )^p = ( q - p)^{2q-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-05-2021 - 16:43
LaTeX

[LMQCZ]

Bài 144: Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để :

 

$A = x^4 + x^2 + x +2 \vdots x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 3x+6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-05-2021 - 16:44
LaTeX

[pkh2705]

143: Tìm tất cả các số nguyên tố ( q + p )^p = ( q - p)^2q-1

Dễ thấy $2q-1>p$, suy ra:$(p+q)^p=(q-p)^{2q-1}\Rightarrow (p+q)^p \vdots (q-p)^p\Rightarrow \left ( \frac{p+q}{q-p} \right )^p \in \mathbb{N}$

$\Rightarrow p+q\vdots q-p\Rightarrow 2q\vdots q-p$
Mà $(p,q)=1 \rightarrow (q,q-p)=1$ nên $q-p\in \left \{ 1;2 \right \}$.
Dễ thấy $q-p=1$ không thỏa mãn nên $q-p=2 \rightarrow q=p+2$

Thay vào đẳng thức đề bài ta được $(p+1)^p=2^{p+3}\Rightarrow \left ( \frac{p+1}{2} \right )^p=8\Rightarrow p=3$
Suy ra $q=5$ (Thỏa mãn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pkh2705: 21-05-2021 - 21:54

[pkh2705]

$\boxed{145}$: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn
$x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$
 

[viscolt0801]

$\boxed{\textrm{Bài 146}}$ Chứng minh rằng với $\forall p$ là số nguyên tố thì không tồn tại $x,y \in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn: 

$$ 2^p +3^p = x^{y+1} $$

[Hoang72]

$\boxed{145}$: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn
$x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$
 

Bài làm của anh pcoVietnam02 em lụm được:

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$.

$\Rightarrow 3x^3\geq nx^2y^2z^2\Rightarrow x\geq \frac{ny^2z^2}{3}$

Vì $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\Rightarrow y^3+z^3\vdots x^2\Rightarrow 2y^3\geq y^3+z^3\geq x^2\geq \frac{n^2y^4z^4}{9}$.

Xét 2 TH:

+) z > 1: $\Rightarrow y\leq\frac{18}{16n^2}\Rightarrow y=1$. (vô lí vì $y\geq z$).

+) z = 1: $\Rightarrow y^3+1\geq \frac{n^2y^4}{9}$.

Nếu y = 1 thì $x^3+2=nx^2$.

Suy ra pt có nghiệm duy nhất (x ,y, z, n) = (1;1; 1; 3).

Nếu y > 1 thì $10\geq n^2y$, suy ra $n\leq 3$.

Với n = 1 thì chọn (x, y, z) = (3; 2; 1), thỏa mãn.

Với n = 2 thì y = 2 hoặc y = 1. Thay vào thấy không thỏa mãn.

Với n = 3 thì chọn (x, y, z) = (1; 1; 1), thỏa mãn.

Vậy n = 1 hoặc n = 3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 22-05-2021 - 10:53

[hnv]

$\boxed{\textrm{Bài 146}}$ Chứng minh rằng với $\forall p$ là số nguyên tố thì không tồn tại $x,y \in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn: 

$$ 2^p +3^p = x^{y+1} $$

Với p=2 thì $VT=13$ nên không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Với p=3 thì $VT=35$ nên không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Với p=5 thì $VT=32+243=275$ không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Xét p>5 thì:

Ta sẽ chứng minh: 

$2^p+3^p$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $25$ thật vậy:

$2^p+3^p=(2+3)(2^{p-1}+2^{p-2}.3+...+3^{p-1})=5(2^{p-1}+2^{p-2}.3+...+3^{p-1})$.

$2^{p-1}+2^{p-2}.3+..+3^{p-1}\equiv 2^{p-1}+(-2).2^{p-2}+...+(-2)^k.2^{p-1-k}+...+(-2)^{p-1}(mod 5)\equiv 2^{p-1}-2^{p-1}+2^{p-1}+...+2^{p-1}(mod 5)\equiv 2^p(mod 5)$ nên $2^{p}+3^{p}$ không chia hết cho 25.

Do đó: Giả sử tồn tại p thỏa mãn thì: $VP$ sẽ chia hết cho 5 nên $x$ sẽ chia hết cho $5$ mà $y+1>1$ nên VP sẽ chia hết cho $5^{2}$ mà VT không nên vô lí.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hnv: 22-05-2021 - 15:11

[duc anh csp]

Bài 97: Tìm tất cả các số nguyên dương x;y thoả mãn $x+y^{2}+z^{3}=xyz$ với z là ước chung lớn nhất của x;y

Bài 98: Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn $20^{n}-13^{n}-7^{n}\vdots\; 309$

Bài 99: Gọi d(n) là số ước dương của số nguyên dương n ( bao gồm 1 và n). Tìm n để $a = \frac{n}{d(n)}$ là một số nguyên tố

Bài 100: Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thoả mãn $xy+yz+zx-xyz=2$

Bài 100
xy + yz + zx - xyz = 2
<=> xy + z ( x + y + xy + 1) - z =2
<=> xy + z( x + 1 ) ( x + 1) - z =2
<=> x( y + 1 ) +  z( x + 1 ) ( x + 1)  - x - z = 2
< => ( y + 1 ){ x + 1 + x ( x+ 1) } - x - y -z  -1 =2
<=> ( x+1 )( y+1)(z+1) - ( x +1 ) - ( y +1) - ( z + 1 ) = 0
<=> ( x+1 )( y+1)(z+1) - ( x +1 ) = ( x +1 ) + ( y +1) + ( z + 1 )
Đặt x + 1 = a, y + 1 = b, z + 1 =c
phương trình trở thành
abc = a + b + c


Không mất tính tổng quát giả sử |a| <= |b| < = |c|
...  ở trên mình thấy đã có bạn làm rồi ( câu 88 ấy )
sau đó mình có các bộ   |a||b||c| là 1 2 3 và các hoán vị thì mình thử các trường hợp  tìm ra là  giá trị tuyệt đối của x y z là  0 1 2 và các hoán vị
thay vào phương trình ban đầu thì thử lại ta thấy ta có các bộ x y z thỏa mãn là ( x, y , z) ( 0 ,  1 , 2) ( 0 , -1 , -2 )  và các hoán vị do vai trò của x y z ở đây bình đẳng

[duc anh csp]

Bài 144: Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để :

 

$A = x^4 + x^2 + x +2 \vdots x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 3x+6$

tách     
x4+3x3+7x2+3x+6 thành (x ² + 3x + 6 )( x² + 1 ) sau đó lấy tử là x4+3x3+7x2+3x+6 chia cho x ² + 3x + 6 và x² + 1 ( dùng đa thức chia đa thức ý )

thì ta có số dư là

 

( x4+3x3+7x2+3x+6) : ( x ² + 3x + 6 ) dư 7 x - 22 => 7x -22 phải chia hết cho x ² + 3x + 6 => |7 x -22| >₌x ² + 3x + 6(1)

Tương tự ta có

 

 

( x4+3x3+7x2+3x+6) : ( x² + 1) dư x + 2 => x + 2 phải chia hết cho x² + 1 => |x+ 2| > = x² + 1 ( 2) . Từ ( 1 ) và ( 2 ) các bạn giải bất phương trình rồi thấy các giả trị đều không thỏa mãn 
= > ta chỉ còn trường hợp là  x -2 = 0 hoặc 7 x -22 = 0 
dễ thấy 7 x -22 = 0 không có nghiệm nguyên => x =2 để thỏa mãn  x - 2 = 0
thay thử vào phương trình ban đầu đề bài ta thấy thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x = -  2
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duc anh csp: 23-05-2021 - 09:45

[DaiphongLT]

tách     
x4+3x3+7x2+3x+6 thành (x ² + 3x + 6 )( x² + 1 ) sau đó lấy tử là x4+3x3+7x2+3x+6 chia cho x ² + 3x + 6 và x² + 1 ( dùng đa thức chia đa thức ý )

thì ta có số dư là

 

( x4+3x3+7x2+3x+6) : ( x ² + 3x + 6 ) dư 7 x - 22 => 7x -22 phải chia hết cho x ² + 3x + 6 => |7 x -22| >₌x ² + 3x + 6(1)

Tương tự ta có

 

 

( x4+3x3+7x2+3x+6) : ( x² + 1) dư x + 2 => x + 2 phải chia hết cho x² + 1 => |x+ 2| > = x² + 1 ( 2) . Từ ( 1 ) và ( 2 ) các bạn giải bất phương trình rồi thấy các giả trị đều không thỏa mãn 
= > ta chỉ còn trường hợp là  x -2 = 0 hoặc 7 x -22 = 0 
dễ thấy 7 x -22 = 0 không có nghiệm nguyên => x =2 để thỏa mãn  x - 2 = 0
thay thử vào phương trình ban đầu đề bài ta thấy thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x = 2
 

hình như bạn nhầm rồi, nếu x=2 thay vào A vẫn không thỏa mãn
từ A sẽ suy ra dc x < 0 nên từ $x^2+1\mid x+2\Rightarrow x^2+1\mid x^2+1-5\Rightarrow x^2+1\mid 5$
từ đây có thể tìm x=-2 thỏa mãn