Đến nội dung

Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 167 trả lời

#161
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 178: Cho $a,b$ là các nguyên dương phân biệt và $(a,b)=1$. Chứng minh rằng $2a(a^2+b^2)$ không chia hết cho $a^2-b^2$

~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Khi $(a,b)$ thì $(a,a^2-b^2)=1$ nên ta đi chứng minh $2(a^2+b^2)$ không chia hết cho $a^2-b^2$

Giả sử $2(a^2+b^2)$ chia hết cho $a^2-b^2$

Đặt $(a^2+b^2,a^2-b^2)=d$ thì $\left\{\begin{matrix}d|2a^2 & \\ d | 2b^2 & \end{matrix}\right.$

Nếu $d|a$ thì $d|b$ và ngược lại nên $d=1$

Vì vậy $d=1$ hoặc $d=2$

* Xét $d=1$ thì hiển nhiên $a^2-b^2 | 2$ (Không tồn tại $a,b$ nguyên dương để $a^2-b^2=1$ hoặc $a^2-b^2=2$)

* Xét $d=2$ thì $a^2+b^2=2x$ và $a^2-b^2=2y$ với $(x,y)=1$ thì $4x\vdots 2y\Rightarrow 2x\vdots y\Rightarrow y \in \left \{ 1,2 \right \}$

Như trường hợp 1 thì cũng thấy vô lí

Ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 02-04-2022 - 09:57

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#162
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 179: Tìm các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p(p-1)^2+1$ là lũy thừa của $3$

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

* Xét $p=2$ thì $p(p-1)^2+1$ là lũy thừa của $3$

* Xét $p>2$ thì $p$ lẻ nên $p(p-1)^2+1\equiv 1(\text{mod 4})$

Đặt $p(p-1)^2+1=3^n(n>2)\Rightarrow 3^n\equiv 1(\text{mod 4})\Rightarrow (-1)^n\equiv 1(\text{mod 4})$ nên $n$ chẵn. Đặt $n=2k(k>1)$

Khi đó phương trình được viết lại thành: $p(p-1)^2=(3^k-1)(3^k+1)$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $p|3^k-1$ hoặc $p|3^k+1$

** Nếu $p|3^k-1$ thì phương trình viết lại dưới dạng: $\frac{3^k-1}{2p}.\frac{3^k+1}{2}=(\frac{p-1}{2})^2$

Ta có nhận xét: $(3^k+1,3^k-1)=2\Rightarrow (\frac{3^k+1}{2},\frac{3^k-1}{2})=1\Rightarrow (\frac{3^k+1}{2},\frac{3^k-1}{2p})=1$

Do vậy $\frac{3^k+1}{2}$ là số chính phương mà $3^k+1\equiv 4(\text{mod 3})\Rightarrow \frac{3^k+1}{2}\equiv 2(\text{mod 3})$ (Vô lí)

** Nếu $p|3^k+1$ thì phương trình viết lại dưới dạng: $\frac{3^k+1}{2p}.\frac{3^k-1}{2}=(\frac{p-1}{2})^2$

Tương tự như trên thì ta cũng có $\frac{3^k+1}{2p}$ là số chính phương nên ta đặt $3^k+1=2pt^2$

Nếu $k$ lẻ thì $2pt^2=3^k+1\equiv 0(\text{mod 4})\Rightarrow t^2\equiv 0(\text{mod 2})\Rightarrow t^2\equiv 0(\text{mod 4})\Rightarrow 3^k+1\equiv 0(\text{mod 8})$ (Vô lí do $3^k+1\equiv 4(\text{mod 8})$)

Vậy $k$ chẵn nên ta đặt $k=2s$ do đó $\frac{3^{2s}-1}{2}$ là số chính phương 

Đặt $(3^s-1)(3^s+1)=2w^2\Rightarrow \frac{3^s-1}{2}.\frac{3^s+1}{2}=2(\frac{w}{2})^2$

Do đó trong hai số $\frac{3^s-1}{2}$ và $\frac{3^s+1}{2}$ có một số là số chính phương và một số gấp hai lần một số chính phương nhưng $\frac{3^s+1}{2}$ không là số chính phương nên ta đặt $3^s+1=4y^2\Rightarrow 3^s=(2y+1)(2y-1)\Rightarrow 2y-1=1\Rightarrow y=1\Rightarrow s=1\Rightarrow k=2\Rightarrow p|10\Rightarrow p=5$

Vậy $p=2$ hoặc $p=5$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#163
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 180: Cho $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt thỏa mãn $ab(a+b)$ chia hết cho $a^2+ab+b^2$. Chứng minh rằng: $|a-b|>\sqrt[3]{3ab}$

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Đặt $(a,b)=d$ thì tồn tại các số nguyên dương phân biệt $x,y$ thỏa mãn $a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$

Lúc này thì $d^2(x^2+xy+y^2)|d^3xy(x+y)\Rightarrow x^2+xy+y^2|dxy(x+y)$

Ta chứng minh các kết quả sau:

* $(x,x^2+xy+y^2)=1$

Thật vậy, đặt $(x,x^2+xy+y^2)=s$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2\vdots s & \\ x\vdots s & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\vdots s & \\ y\vdots s & \end{matrix}\right.\Rightarrow s=1$

Tương tự cũng có $(y,x^2+xy+y^2)=1$
* $(x+y,x^2+xy+y^2)=1$ 
Đặt $(x+y,x^2+xy+y^2)=m$ thì $\left\{\begin{matrix}x+y\vdots m & \\ x(x+y)+y^2\vdots m & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\vdots m & \\ y\vdots m & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\vdots m & \\ y\vdots m & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=1$
Do vậy $x^2+xy+y^2|d\Rightarrow d\geqslant x^2+xy+y^2>3xy\Rightarrow |a-b|^3=d^3|x-y|^3\geqslant d^3> 3d^2.xy=3ab\Rightarrow |a-b|> \sqrt[3]{3ab}$

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#164
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 181: Tìm các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $\frac{3n^2}{m}$ và $\sqrt{n^2+m}$ là các số nguyên

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Vì $m$ dương nên $n^2+m>n^2$ do đó ta có thể đặt $n^2+m=(n+s)^2$ với $s$ là số nguyên dương 

$\Rightarrow m=2sn+s^2$

Từ giả thiết ta có thể đặt $3n^2=mk=k(2sn+s^2)\Rightarrow 3n^2-2ksn-ks^2=0$

$\Rightarrow \Delta _n=4k^2s^2+12ks^2=4s^2(k^2+3k)$ do đó $k^2+3k$ phải là số chính phương

Mà $k^2<k^2+3k<(k+2)^2$ nên $k^2+3k=(k+1)^2$ do đó $k=1$

Vậy $3n^2=m$ hay toàn bộ các số nguyên thỏa mãn là $(m,n)=(3k^2,k)$ với $k$ là một số nguyên dương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-04-2022 - 21:17

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#165
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 182: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $(x^2+y)(y^2+x)=(x+1)(y+1)$

~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

* Xét $x+1=y+1=0$ thì $x=y=-1$ (Thỏa mãn)

* Nếu có ít nhất một trong hai số $x+1,y+1$ khác $0$ thì ta đặt $(x+1,y+1)=d$ lúc này thì tồn tại $a,b$ sao cho $x+1=da, y+1=db$ và $(a,b)=1$

$\Rightarrow x^2+y=(da-1)^2+db-1=d\left [ da^2-2a+b\right ]=d\left [ a(x-1)+b \right ]$

Tương tự: $y^2+x=d\left [ b(y-1)+a \right ]$

Phương trình lúc này trở thành: $\left [ a(x-1)+b \right ]\left [ b(y-1)+a \right ]=ab\Leftrightarrow a^2(x-1)+ab(x-1)(y-1)+b^2(y-1)=0$

+) Nếu $x=1$ thì tìm được  $y=\pm 1$

+) Nếu $x\neq 1$ thì coi đây là phương trình bậc hai theo ẩn $a$

$\Rightarrow \Delta _a=b^2(x-1)^2(y-1)^2-4b^2(x-1)(y-1)$

Hiển nhiên $\Delta _a$ phải là số chính phương hay $(x-1)^2(y-1)^2-4(x-1)(y-1)$ là số chính phương

Ta đặt: $(x-1)^2(y-1)^2-4(x-1)(y-1)=k^2\Leftrightarrow \left [ (x-1)(y-1)-2 \right ]^2=k^2+4\Leftrightarrow (xy-x-y-1-k)(xy-x-y-1+k)=4$

Đến đây thì mọi chuyện đã đơn giản

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#166
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 183: Tìm các số nguyên tố $a,b,c,d,e$ thỏa mãn phương trình: $a+\sqrt{b^2+c}=\sqrt{d^2+e}$

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Ta biết rằng nếu $\sqrt{m}-\sqrt{n}$ là số nguyên thì $m=n$ hoặc $m,n$ đều là các số chính phương

Áp dụng bổ đề trên và chú ý $p$ không thể bằng $0$ suy ra $b^2+c$ và $d^2+e$ là các số chính phương

Đặt $b^2+c=t^2$ nên $c=(t+b)(t-b)$ mà $t-b<t+b$ nên $t-b=1$ do đó $c=t+b=b+1+b=2b+1$

Tương tự: $e=2d+1$ do vậy ta được phương trình: $a+b=d$

$a,b$ không thể cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên ta xét

+) $a=2$ thì tiếp tục xét các trường hợp nhỏ hơn

     * $b\geqslant 5$ thì $b$ chỉ có dạng $6k+5$ nên $d=6k+7$ do đó $e=12k+15$ (vô lí)

     * $b=2,b=3$ thì tìm được $(a,b,c,d,e)=(2,3,7,5,11)$

+) $b=2$ thì xét tương tự


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#167
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 184: Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $xy=z^2$ và $2p=x+y+6z$. Chứng minh rằng $p+4x,p+4y$ là các số chính phương.

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Đặt $(x,y)=d$ thì tồn tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x=da,y=db$ và $(a,b)=1$

Lúc này $d^2ab=z^2\Rightarrow d|z\Rightarrow z=dk(k \in \mathbb{Z}^+)$

Vậy ta được: $k^2=ab$ mà $(a,b)=1$ nên $a=u^2,b=v^2$ lúc đó $k=uv$

Từ giả thiết có: $2p=d(a+b+k)$ nên $d|2p\Rightarrow d\in\left \{ 1;2;p;2p \right \}$

* Nếu $d=1$ thì hiển nhiên $2p=u^2+v^2+6uv=(u+3v)^2-8v^2\Rightarrow 2|(u+3v)^2\Rightarrow 4|(u+3v)^2\Rightarrow 4|2p\Rightarrow p=2$

Vô lí vì nếu như vậy thì $4=u^2+v^2+6uv\geqslant 8$

* Nếu $d=2$ thì $p=a+b+k=u^2+v^2+6uv\Rightarrow p+4x=u^2+v^2+6uv+8u^2=(3u+v)^2$

Tương tự $p+4y$ cũng là số chính phương

* Nếu $d=p$ thì $2=u^2+v^2+6uv$ (vô lí)

* Nếu $d=2p$ thì $1=u^2+v^2+6uv$ (vô lí)


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#168
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 185: Giải phương trình nghiệm nguyên: $7^m=5^n+24$

Ta có nhận xét sau: $7^m\equiv 4(\text{mod 5})$

Nếu $m$ lẻ thì ta đặt $m=2k+1$ khi đó $7^m=49^k.7$

* Nếu $k$ lẻ thì $49^k.7\equiv -7\equiv 3(\text{mod 5})$

* Nếu $k$ chẵn thì $49^k.7\equiv 7\equiv 2(\text{mod 5})$

Ta thấy mâu thuẫn rõ ràng nên $m$ phải là số chẵn. Đặt $m=2l$

-) Nếu $n$ là số lẻ thì đặt $n=2u+1$ khí đó $5^{2u+1}\equiv 4(\text{mod 7})\Leftrightarrow25^u.5\equiv 4(\text{mod 7})$

$\Leftrightarrow 4^u.5\equiv 4(\text{mod 7})$

Ta xét $u=3v,3v+1,3v+2$ đều thấy vô lí nên $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2r$

Vậy ta được $7^{2l}=5^{2r}+24$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh