Chủ đề này có 167 trả lời

[duc anh csp]

hình như bạn nhầm rồi, nếu x=2 thay vào A vẫn không thỏa mãn
từ A sẽ suy ra dc x < 0 nên từ $x^2+1\mid x+2\Rightarrow x^2+1\mid x^2+1-5\Rightarrow x^2+1\mid 5$
từ đây có thể tìm x=-2 thỏa mãn
 

cảm ơn nhá mình viết thiếu dấu trừ

[nguyentrongvanviet]

Bài 145 

cho 2 số nguyên dương m,n và$k =\frac{(m+n)^2}{4(m-n)^2+4}$ là số nguyên  chứng minh k là số chính phương 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrongvanviet: 23-05-2021 - 14:04

[pkh2705]

Bài 145 

cho 2 số nguyên dương m,n và$k =\frac{(m+n)^2}{4(m-n)^2+4}$ là số nguyên  chứng minh k là số chính phương 

Hình như dưới mẫu phải là $4m(m-n)^2+4$ thì phải, bài này đề gốc là P1-Turkey MO 2015

[pkh2705]

$\boxed{147}$: Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pkh2705: 23-05-2021 - 22:15

[Hoang72]

$\boxed{147}$: Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

Ta có $p^3\equiv p(mod3);q^5\equiv q(mod 3)$ nên $p^3-q^5\equiv p-q(mod3)$.

+) p + q không chia hết cho 3: Khi đó p - q chia cho 3 dư 1.

Suy ra p chia hết cho 3 hoặc q chia hết cho 3. (Do p + q không chia hết cho 3).

Nếu p = 3 thì $27-q^5=(q+3)^2$. (vô nghiệm)

Nếu q = 3 thì $p^3-243=(p+3)^2$. Giải ra ta có p = 7.

+) Nếu p + q chia hết cho 3 thì p và q đồng dư với nhau mod 3. Do đó p, q chia hết cho 3 nên p = q = 3 (vô lí)

Vậy p = 7; q = 3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 23-05-2021 - 22:22

[pkh2705]

$\boxed{148}$: Tìm tất cả các số nguyên không âm $p,q,r$ sao cho $p^3-q^3=r!-18$

[pcoVietnam02]

$\boxed{147}$: Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

 

Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật của phương trình Diophante)

Dễ dàng chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên tố với $p=q$, ta giả sử $p \neq q$ suy ra:

$$q \vert p^3-p^2 \Rightarrow q \vert p-1 \Rightarrow p=kq+1$$

Chọn $k$ tương ứng ta dễ dàng kiểm tra được $p \neq q+1$ nên ta giả sử $k \geq 2$. Ta lại có:

$$p \vert q^3+1=(q+1)(q^2-q+1) \Rightarrow p \vert q^2-q+1$$

Ta có thể viết lại là:

$$kq+1 \vert q^2-q+1 \vert kq^2-kq+k \Rightarrow kq+1 \vert k-q+1$$

Nếu $k>q-1$ ta có:

$$kq+1 \leq k-q+1 \Leftrightarrow 1 \geq (k+1)(q-1) \geq 2$$

Suy ra điều mâu thuẫn. Tương tự với $k<q-1$ ta có:

$$kq+1 \leq q-k-1 \Leftrightarrow -3 \geq (k-1)(q+1) \geq 0$$

Ta lại thấy điều mâu thuẫn từ đó $k=q-1 \Rightarrow p=q^2-q+1$.

Do đó phương trình tương đương

$$q(q-3)(q^2+1)(q^2-q+1)=0$$

Vậy nghiệm duy nhất là $q=3,p=7$

[mEgoStoOpid]

Bài tiếp theo cho mọi người đây:
$\boxed{136}$. Tìm số nguyên dương $m,n$ sao cho
$$3^m=2n^2+1$$

Em không nghĩ ra được cách nào hay hơn ạ  :

                    Dễ thấy $n=3k$ không thỏa mãn

          +) Thử $m = 1,2,4,5,7,8$ thấy chỉ có $(m,n)=(1,1);(2.2);(5,11)$ thỏa mãn

   Với $m> 8$

          +) TH1: $n=3k+1$, $pt<=>3^{m-1}=6k^{2}+4k+1=>k=3k_{1}+2=>3^{m-2}=18k_{1}^{2}+28k_{1}+33=>k_{1}=9k_{2}+1=>3^{m-2}=1458k_{2}^{2}+576k_{2}+57$

                      Đến đây ta thấy VT chia hết cho 9 mà VP không chia hết cho 9 = > Vô nghiệm

          +) TH2: $n=3k+2$, $pt<=>3^{m}=18k^{2}+24k+9=>k=3k_{1}=>3^{m-2}=18k_{1}^{2}+8k_{1}+1=>k_{1}=3k_{2}+1=>3^{m-3}=54k_{2}^{2}+44k_{2}+9=>k_{2}=9k_{3}=>3^{m-5}=2.3^{3}k_{3}^{2}+44k_{3}+1=>k_{3}=3k_{4}+1=>3^{m-5}=2.3^{7}k_{4}^{2}+4.3^{6}k_{4}+531$

                        Ta thấy VT chia hết cho 27 mà VP không chia hết cho 27 => Vô nghiệm

               

             Vậy $(m,n)=(1,1);(2,2);(5,11)$ 

   

P/s: Sở dĩ em nghĩ đến cách này bởi vì hệ số tự do là 1 nên ta có thể liên tục rút gọn đi nó 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mEgoStoOpid: 26-05-2021 - 16:07

[quanjunior]

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}}+4$ là số chính phương

[pcoVietnam02]

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}}+4$ là số chính phương

Gợi ý:

• Chứng minh bài toán phụ: Chứng minh nếu $\frac{x^2+1}{y^2}+4$ là số chính phương thì $\frac{x^2+1}{y^2}+4=9$
• Nếu như vậy, ta sẽ có một phương trình Pell loại 2: $x^2-5y^2=-1$

Đáp án: $(x,y)$ là những nghiệm của phương trình sau $(2 + \sqrt{5})^z = x + y\sqrt{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 28-05-2021 - 11:00

[pkh2705]

$\boxed{149}$ : Cho số nguyên dương n thỏa mãn: $(n,n+1)<(n,n+2)<(n,n+3)<...<(n,n+99)$

a, So sánh $(n,n+99)$ và $(n,n+100)$

b, Chỉ ra các quan hệ so sánh có thể có giữa $(n,n+100)$ và $(n,n+101)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pkh2705: 28-05-2021 - 21:30

[Hoang72]

$\boxed{149}$ : Cho số nguyên dương n thỏa mãn: $(n,n+1)<(n,n+2)<(n,n+3)<...<(n,n+99)$

a, So sánh $(n,n+99)$ và $(n,n+100)$

b, Chỉ ra các quan hệ so sánh có thể có giữa $(n,n+100)$ và $(n,n+101)$

Ta chứng minh rằng nếu $(n,n+k)=k$ và $(n,n+k+1)>(n,n+k)$ thì $(n,n+k+1)=k+1$.

Thật vậy, dễ thấy $k<(n,n+k+1)=(n,k+1)\leq k+1$ nên $(n,n+k+1)=k+1$.

Từ đó $(n,n+k)=k\Rightarrow n\vdots k,\forall k\in\overline{1,99}$.

a) Dễ thấy $(n,n+99)=99$. Ta có $n\vdots 25$ và $n\vdots 4$ nên $n\vdots 100$. Từ đó $(n,n+100)=100>(n,n+99)$.

b) Ta có $(n,n+101)=101$ nếu $n\vdots 101$. Ngược lại, $(n,n+101)=1$. Do đó có thể xảy ra lớn hơn hoặc bé hơn.

[LMQCZ]

Bài 145
cho 2 số nguyên dương m,n và$k =\frac{(m+n)^2}{4(m-n)^2+4}$ là số nguyên chứng minh k là số chính phương

Hình như sai đề anh ạ, không thể chứng minh được nhé

[pcoVietnam02]

Hình như sai đề anh ạ, không thể chứng minh được nhé

 

Bạn pkh2705 đã confirm lại đề bài rồi nhé. Đáp án sẽ có sau. 

[DaiphongLT]

Bài 150: Tìm các số nguyên dương $a$ để với mọi số nguyên tố lẻ $p$ luôn tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn đồng thời $a^n-n^2$ và $a^{n+1}-(n+1)^{2}$ đều chia hết cho $p$

[duc anh csp]

Bài 151: Tìm  x, y nguyên thỏa mãn 3^x + 29 = 2^y

[PDF]

Bài 150: Tìm các số nguyên dương $a$ để với mọi số nguyên tố lẻ $p$ luôn tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn đồng thời $a^n-n^2$ và $a^{n+1}-(n+1)^{2}$ đều chia hết cho $p$

Gợi ý

Chọn $n$ thích hợp để suy ra $a=4$. Với $a=4$, chọn $n=(p-1)^{2}$.

[pkh2705]

$\boxed{152}$: Cho số tự nhiên $n>3$ và $p|n$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số nguyên dương $N$, $1<n<2^n$ sao cho $(1+2^p+2^{n-p})N$ chia $2^n$ dư 1.

[lmtrtan123334]

Bài 151: Tìm  x, y nguyên thỏa mãn 3^x + 29 = 2^y

Đây bạn nhé

-Xét x=1 thì ta được y=5

-Xét x>1 thì ta được 3^x chia hết cho 9

Suy ra 2^y=2(mod 9)

Mà:y=6k thì 2^y=1(mod 9)

y=6k+1 thì 2^y=2(mod 9)

y=6k+2 thì 2^y=4(mod 9)

y=6k+3 thì 2^y=8(mod 9)

y=6k+4 thì 2^y=7(mod 9)

y=6k+5 thì 2^y=5(mod 9)

Từ đó ta thấy được y=1(mod 6)

Với y=1(mod 6) thì 2^y=2(mod 7) suy ra 3^x=1(mod 7)

Ta lại có:

-x=6k thì 3^x=1(mod 7)

-x=6k+1 thì 3^x= 3(mod 7)

-x=6k+2 thì 3^x=2(mod 7)

-x=6k+3 thì 3^x=6(mod 7)

-x=6k+4 thì 3^x=4 (mod 7)

-x=6k+5 thì 3^x= 5 (mod 7)

Từ đó ta thấy x=0 (mod 6) suy ra 3^x=1 (mod 4) suy ra 2^y = 2 (mod 4) suy ra y=1 (vô lí)

Vậy có duy nhất cặp nghiệm (x,y)=(1,5) thoả mãn đề bài

[KietLW9]

Bài 153: Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a\sqrt{3}>b\sqrt{7}$. Chứng minh rằng: $a\sqrt{3}-b\sqrt{7}>\frac{1}{a+b}$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Từ giả thiết ta có: $3a^2-7b^2\geqslant 1$

Dễ lập bảng đồng dư thì $3a^2-7b^2\equiv 0,3,5,6 (\text{mod 7})$ nên $3a^2-7b^2\geqslant 3$

Vậy ta được: $a\sqrt{3}-b\sqrt{7}=\frac{3a^2-7b^2}{a\sqrt{3}+b\sqrt{7}}\geqslant \frac{3}{a\sqrt{3}+b\sqrt{7}}>\frac{1}{a+b}$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-04-2022 - 21:12