Hóng topic trở lại
Bổ đề: Cho tam giác ABC. D, E trên cạnh BC sao cho AD, AE đẳng giác trong góc BAC. Khi đó hai đường tròn (ABC), (ADE) tiếp xúc với nhau.
Quay trở lại bài toán:
Ta có $\angle BPE=90^o-\frac{\angle ABC}{2}=\angle CPF$ nên PE, PF đẳng giác trong góc PBC. Từ đó (PEF) tiếp xúc với (PBC).
Dễ thấy $\angle DAA'=\angle EPF\Rightarrow \Delta DAA'\sim\Delta EPF(g.g)\Rightarrow \frac{EF}{EP}=\frac{DA'}{DA}$. (1)
Lại có $\Delta DBF\sim\Delta DAB(g.g)\Rightarrow \frac{DB}{DA}=\frac{BF}{AB}\Rightarrow \frac{DP}{DA}=\frac{PF}{AP}=\frac{EF}{EH}$. (2)
Từ (1), (2) suy ra $\frac{EH}{EP}=\frac{DA'}{DP}\Rightarrow \Delta EHP\sim\Delta DA'P(c.g.c)\Rightarrow \angle HPE=\angle A'PD$.
Từ đó PE, PF đẳng giác trong tam giác HPI nên (PEF) tiếp xúc với (PHI).
Tương tự (PHI) tiếp xúc với (PBC).
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 10-06-2021 - 10:57