Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

phương trình hàm vmo olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 36 trả lời

#1 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 01-04-2021 - 17:09

Xin chào, mình là pcoVIetnam02 . Có một số bạn đã biết, mình từng làm một chuyên đề phương trình hàm trên tập rời rạc nhưng sau đó vì diễn đàn bảo trì nên topic cũng không cánh mà bay. Và vì các bạn cũng bắt đầu thi Olympic 30/4 rồi nên mình sẽ làm luôn một chuyên đề về phương trình hàm trên tập số thực với khá là nhiều cách giải khác nhau để các bạn có thể trang bị cho kì thì VMO sắp tới. Yêu cầu rất đơn giản:

$1)$ Tích cực tham gia, bàn luận và giải các bài toán mình đưa ra (tất nhiên sẽ có bài dễ nhưng mà lâu lâu thôi, vì sắp thì VMO rồi nên mình sẽ coi như các bạn đã biết được cơ bản của phương trình hàm).

$2)$ Ủng hộ các bạn đưa ra cách làm của bài đó, phương pháp, trình bày rõ ràng mạch lạc.

$3)$ Nếu muốn gửi bài tập cho các bạn khác cùng làm nhớ ghi số thứ tự (sau số của bài cuối cùng được đăng), đăng khoảng từ 1-5 bài và nếu không ai giải được (mình sẽ cố gắng giải cho các bạn) thì người đăng phải gửi lời giải của bài đó. 

Mong các bạn sẽ hưởng ứng vì chuyên đề này không mấy ai quan tâm, thêm cả việc không quá nhiều người học THPT ở group này nên cũng khó khăn cho mình. Nhưng vì đam mê thì làm thôi chứ biết sao :)  

 

Sau đây là những bài tập đầu tiên (lấy lại từ những bài trước mình đã làm): 

$\boxed{1}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa 

$g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$ , $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 +y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$\boxed{3}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ , $\forall x,y\in \mathbb{R^+}$



#2 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 01-04-2021 - 21:59

Mình sẽ cho các bạn đáp án trước và gợi ý nhỏ của các bài sau:

$\boxed{1}$ $f(x)=0 , f(x)=2 , f(x)=x$

Gợi ý: Đặt f(1)=a , sau đó các bạn cố gắng tính giá trị của $a$ bằng các phép thế. Rồi chia trường hợp và giải.

$\boxed{2}$ $f(x)=x$ , $f(x)=-x$

Gợi ý: Bài này dễ ở chỗ các bạn chỉ cần thế thôi là sẽ có đáp án. Tuy nhiên nó chưa phải là đáp án cuối cùng của bài toán nên cần lập luận một chút để khẳng dịnh hai phương trình hàm trên thỏa.

$\boxed{3}$ $f(x)= \frac{1}{mx +c}$ ($m,c$ là các hằng số)

Gợi ý: Phần đầu của bài này tương đối dễ khi các bạn có thể dễ dàng đặt sao cho đưa về dạng phương trình hàm Jensen:

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$. Tuy nhiên phần sau lại không dễ vì bạn phải giải phương trình hàm Jensen trên tập $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$



#3 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 02-04-2021 - 16:50

Đây là một bài khá thú vị dành cho các bạn học sinh lớp 10 đã học về dãy số:

 

$\boxed{4}$ Cho các hàm $f:\mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(n+1)=f(n-1)-f(n)$ , $f(1)=1$ , $f(2)=0$ 

Chứng minh rằng: $|f(n)| \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

 



#4 Lykan 11

Lykan 11

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Đã gửi 02-04-2021 - 17:53

Đây là một bài khá thú vị dành cho các bạn học sinh lớp 10 đã học về dãy số:

 

$\boxed{4}$ Cho các hàm $f:\mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(n+1)=f(n-1)-f(n)$ , $f(1)=1$ , $f(2)=0$ 

Chứng minh rằng: $|f(n)| \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

bài này là dãy mà



#5 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 02-04-2021 - 18:00

bài này là dãy mà

 

Đúng rồi nhưng bài này là phương trình hàm nhưng lại sử dụng phương pháp tuyến tính sai phân cấp 2 thôi. Bạn làm thử đi 



#6 Lykan 11

Lykan 11

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Đã gửi 02-04-2021 - 18:24

có f(n+1)=f(n-1)-f(n) mà f(n)=f(n-2)-f(n-1)

=> f(n+1)=2f(n-1)-f(n-2)

=>f(n+1)=2f(n-3)-3f(n-2)

=>f(n)=(-1)k(Fk+1f(n-k)-Fkf(n-k-1))

=>f(n)=(-1)n-2(Fn-1f(2)-Fn-2f(1))

=>f(n)=(-1)nFn-2

lim ra vô hạn mà mn



#7 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 02-04-2021 - 20:06

$\boxed{3}$ $f(x)= \frac{1}{mx +c}$ ($m,c$ là các hằng số)

Gợi ý: Phần đầu của bài này tương đối dễ khi các bạn có thể dễ dàng đặt sao cho đưa về dạng phương trình hàm Jensen:

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$. Tuy nhiên phần sau lại không dễ vì bạn phải giải phương trình hàm Jensen trên tập $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$

Em đọc trên mạng thì nghiệm của phương trình hàm Jensen là $f(x)=ax+b$ chỉ khi f(x) liên tục ạ. Không biết trên tập $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thì có khác không ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 02-04-2021 - 20:06


#8 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 02-04-2021 - 20:51

Khác chứ. Nhưng lời giải của nó khá khó nên anh khuyên em nên thử sức với 2 bài đầu tiên



#9 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 02-04-2021 - 21:32

Bài 5: Tìm đa thức P(x) sao cho thỏa đồng nhất thức sau: $P(x^{2}-2x)\equiv [P(x-2)]^{2}$

P/S: nếu bạn "chủ thớt" cảm thấy bài toán này không phù hợp với TOPIC thì bạn hãy xóa bài này đi  :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 02-04-2021 - 21:38


#10 hienprogamin

hienprogamin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Hình Học, Bất đẳng thức

Đã gửi 02-04-2021 - 22:06

Mik xin góp vui :)
$\boxed{6}$: Tìm các hàm số $f:\Bbb {R} \rightarrow \Bbb {R} $ thỏa:

$$f(x+y)f(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$$ $\forall x,y\in\mathbb R$  

$\boxed{7}$: Tìm các hàm số $f:\Bbb {R^+} \rightarrow \Bbb {R} $ thỏa:

$$f\left( \dfrac{x+y}{2020} \right) = \dfrac{f(x) + f(y)}{2019},~\forall x, y \in \mathbb{R^+}.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hienprogamin: 02-04-2021 - 22:11

" Nếu cậu là một phương trình phức tạp
 
Tớ xin nguyện làm công cụ đạo hàm
 
Theo dõi cậu dù cách xa vô cực
 
Tiến lại gần như lim tiến về 0 ”
 
:biggrin:   :biggrin:   :biggrin:   n 3^07 !   :biggrin:   :biggrin:   :biggrin: 

#11 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 03-04-2021 - 09:03

Bài 5: Tìm đa thức P(x) sao cho thỏa đồng nhất thức sau: $P(x^{2}-2x)\equiv [P(x-2)]^{2}$

P/S: nếu bạn "chủ thớt" cảm thấy bài toán này không phù hợp với TOPIC thì bạn hãy xóa bài này đi  :lol:

 

Bài này là đa thức nhưng mà sử dụng phép thế chứ không liên quan đến phương trình hàm lắm. Nhưng nếu bạn có đáp án thì gửi luôn để mọi người tham khảo còn nếu không thì mình sẽ giải cho.



#12 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 03-04-2021 - 11:58

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 +y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$ (*)

Em làm hơi dài:

Với x = 0 ta có $f(f(y))=f(0)^2+y\forall y\in\mathbb{R}$.

Từ đó suy ra $f$ là hàm toàn ánh.

Suy ra tồn tại a sao cho $f(a)=0$.

Với x = a ta có $f(f(y))=y\forall y\in\mathbb{R}$.

Từ đó $f(0)^2=0$ nên $f(0)=0$.

Với y = 0 ta có $f(xf(x))=f(x)^2$.

Do đó ta có $f(f(x).f(f(x)))=f(f(x))^2$ mà $f(f(x))=x$ nên $f(xf(x))=x^2$.

Suy ra $f(x)^2=x^2$.

Do đó ta có f(1) = 1 hoặc f(1) = -1.

+) TH1: f(1) = 1: Thay x = 1 vào (*) ta có $f(f(y)+1))=y+1$.

Nếu tồn tại y khác 0 sao cho $f(y)=-y$ thì $f(-y+1)=y+1$. Rõ ràng $f(-y+1)=-y+1$ hoặc $y-1$ khác $y+1$.

Từ đó với mọi y khác 0 ta có $f(y)=y$. Thử lại thấy thỏa mãn

+) TH1: f(1) = -1: Tương tự ta có $f(y)=-y$ với mọi $y\neq 0$.

Vậy $f(x)=x;f(x)=-x$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 03-04-2021 - 11:59


#13 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 03-04-2021 - 16:25

Em làm hơi dài:

Suy ra $f(x)^2=x^2$.

Do đó ta có f(1) = 1 hoặc f(1) = -1.

+) TH1: f(1) = 1: Thay x = 1 vào (*) ta có $f(f(y)+1))=y+1$.

Nếu tồn tại y khác 0 sao cho $f(y)=-y$ thì $f(-y+1)=y+1$. Rõ ràng $f(-y+1)=-y+1$ hoặc $y-1$ khác $y+1$.

Từ đó với mọi y khác 0 ta có $f(y)=y$. Thử lại thấy thỏa mãn

+) TH1: f(1) = -1: Tương tự ta có $f(y)=-y$ với mọi $y\neq 0$.

Vậy $f(x)=x;f(x)=-x$.

 

Chính xác rồi đó. Nhưng khúc này ta có thể làm theo cách này nhanh hơn: 

Giả sử tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)=-a, f(b)=b$. Ta chứng minh khi thế vào phương trình hàm đề bài thì $a=0, b=0$. Điều đó cho ta nhận cả hai hàm như trên. Việc còn lại ta chỉ cần thay vào là xong thôi :)



#14 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 03-04-2021 - 17:04

có f(n+1)=f(n-1)-f(n) mà f(n)=f(n-2)-f(n-1)

=> f(n+1)=2f(n-1)-f(n-2)

=>f(n+1)=2f(n-3)-3f(n-2)

=>f(n)=(-1)k(Fk+1f(n-k)-Fkf(n-k-1))

=>f(n)=(-1)n-2(Fn-1f(2)-Fn-2f(1))

=>f(n)=(-1)nFn-2

lim ra vô hạn mà mn

 

Bài này mình sẽ giải theo hướng phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Đầu tiên tính nhẩm $f(3)=-1$. Ta nghĩ ngay đến phương pháp dãy số, vì dãy trên nếu nhẩm nhiều giá trị $f$ sẽ cho ra dãy khá giống với dãy Fibonacci. 

Đặt $f(n) = u_{n}$

Ta sẽ có được $u_{n+1} - u_{n} +u_{n-1} = 0$

Phương trình đặc trưng: $\lambda ^2- \lambda +1=0$

Suy ra sẽ có nghiệm $\lambda = \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\imath$

Do đó $u_{n} = A cos (n \frac{\pi}{3}) + B sin (n \frac{\pi}{3})$ 

Thay $n=1$ , $n=2$ rồi giải hệ ta được $A=1$ , $B=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

Vậy $f(n) =  cos (n \frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{3}sin (n \frac{\pi}{3})$

Còn ý chứng minh bất đẳng thức kia dễ, các bạn tự làm. 



#15 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 04-04-2021 - 09:53

$\boxed{8}$ (Olympic 30-4): Tìm tất cả hàm số $f:(0;+\infty)\rightarrow(0;+\infty)$ thỏa mãn điều kiện: $f(x+f(y))=xf\left ( 1+f\left ( \frac{y}{x} \right ) \right )$.



#16 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 04-04-2021 - 11:39

$\boxed{8}$ (Olympic 30-4): Tìm tất cả hàm số $f:(0;+\infty)\rightarrow(0;+\infty)$ thỏa mãn điều kiện: $f(x+f(y))=xf\left ( 1+f\left ( \frac{y}{x} \right ) \right )$.

 
Lời giải (chỉ mang tính chất tham khảo): 
 
Dễ dàng ta có: $$f(tx+f(ty))=tf(x+f(y))$$
Gọi các phép thế của phương trình hàm trên là $P(x,y,t)$.
Thay các giá trị của $t$, ta có được $f$ là toàn ánh. Cần chứng minh được $f$ là đơn ánh.
Ta sẽ giả sử điều ngược lại để chứng minh điều vô lí sau: $a<b$ thỏa $f(a)=f(b)$. Đặt $c=\dfrac{b}{a}>1$. 
Từ $P(x,a,t)$ và $P(x,b,t)$ cho ta được $f(tx+f(ta))=f(tx+f(tb))$ ,với mọi $x,t>0$.
Nếu $f(z) \neq f(cz)$ với một số giá trị $z$, ta chọn $t=\dfrac{z}{a}$ với $x$ bất kì thì  $f$ có tính chu kì với chu kì $p=|f(cz)-f(z)|$.
Chọn một giá trị đủ lớn $n$ và đặt $x=\dfrac{np}{c-1}$. Do đó $P(x,a,c) \Rightarrow cf(x+f(a))=f(cx+f(b))=f(x+f(a))$, dẫn đến điều mâu thuẫn. 
 
Do đó $f(z)=f(cz)$ với mọi $z>0$. Lấy $M>0$. $P(x,y,c)$ cho ta $$f(cx+f(y))=cf(x+f(y))$$ $$\implies f(x+f(y))=f(cx+(c-1)f(y)+f(y))=cf(x+f(y)+uf(y))$$
với $u=1-\dfrac{1}{c}>0$. Giờ ta thay $x+f(y)$ để trở thành $M$, chọn các giá trị $y$ bất kì. Theo toàn ánh, $f$ có giá trị là hằng số $\dfrac{f(M)}{c}$ trong khoảng $(M,(u+1)M)$. Từ việc điều này đúng với mọi $M$, ta dễ dàng có được $f$ là hàm hằng, vô lí!
 
Suy ra $f$ đơn ánh. Ta thực hiện trên $P(f(x),y,t)$ và $P(f(y),x,t)$ để có $$f(tf(x)+f(ty))=tf(f(x)+f(y))=f(f(tx)+tf(y))$$
Đặt $y=1$ rồi sử dụng đơn ánh, ta có $$f(tx)=f(t)+tf(x)-tf(1)$$
Thay đổi vị trí $t$ and $x$ và so sánh, ta có được $f$ là hàm tuyến tính ($f(x)=dx+e$). Thay hàm tuyến tính này vào hàm đề bài, ta có được $e=0$ . Vậy đáp án cuối cùng và duy nhất là $$\boxed{f(x)=dx \ \ \forall x \in \mathbb{R}^+}$$
với $d>0$ là hằng số bất kì.


#17 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 04-04-2021 - 14:59

Một số bài tập mới cho mọi người: 

 

$\boxed{9}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(1-x)=1-f(f(x))$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

$\boxed{10}$ Tìm tất các hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(1+xf(y))=yf(x+y)$ , $\forall x,y \in \mathbb{R^+}$

 

Đáp án và gợi ý câu 6 và 7: 

$\boxed{6}$ $f(x)=x$ và $f(x)=-x$

Gợi ý: Đưa về dạng $f(x)f(y)=xy$ để có được $f(x)=\frac{1}{c}x$ rồi sau đó thay vào ta được $c=1$ hoặc $c=-1$ 

$\boxed{7}$ $f(x)=0$ 

Gợi ý: Sử dụng phương pháp CDE (thêm biến) để dễ dàng hơn trong việc đổi vị trí các biến để có được: 

$f(x+y)=f(x)+f(y)-c$

Tới đây đặt $g(x)=f(x)+c$, ta có được hàm Cauchy. Do đó $f(x)=mx-c$ . Thay vào phương trình hàm đề bài ta có $m=0 , c=0$

Vậy $f(x)=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-04-2021 - 22:36


#18 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 04-04-2021 - 22:53

Một số bài tập mới cho mọi người: 

 

$\boxed{9}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(1-x)=1-f(f(x))$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

$\boxed{10}$ Tìm tất các hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(1+xf(y))=yf(x+y)$ , $\forall x,y \in \mathbb{R}$

 

Đáp án và gợi ý câu 6 và 7: 

$\boxed{6}$ $f(x)=x$ và $f(x)=-x$

Gợi ý: Đưa về dạng $f(x)f(y)=xy$ để có được $f(x)=\frac{1}{c}x$ rồi sau đó thay vào ta được $c=1$ hoặc $c=-1$ 

$\boxed{7}$ $f(x)=0$ 

Gợi ý: Sử dụng phương pháp CDE (thêm biến) để dễ dàng hơn trong việc đổi vị trí các biến để có được: 

$f(x+y)=f(x)+f(y)-c$

Tới đây đặt $g(x)=f(x)+c$, ta có được hàm Cauchy. Do đó $f(x)=mx-c$ . Thay vào phương trình hàm đề bài ta có $m=0 , c=0$

Vậy $f(x)=0$

Ơ em tưởng hàm Cauchy có nghiệm nhiều hơn như thế nữa chứ



#19 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 04-04-2021 - 23:13

Ơ em tưởng hàm Cauchy có nghiệm nhiều hơn như thế nữa chứ

 

Mình xét hàm cộng tính nha em, nên nó sẽ là $f(x)=cx$ , $c$ là hằng số



#20 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 04-04-2021 - 23:59

Bài tập tiếp theo (bài này mới thấy đăng nhưng mà hình như xóa mất tiêu, định up lời giải lên nhưng thôi gởi lên đây vì thấy cũng hay) :

 

$\boxed{11}$ Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục $ f: [0; \infty) \rightarrow [0; \infty)$ thỏa:

$2f(x)= f(\frac{x}{x^2+x+1}) + f(\frac{x+1}{2})$ , $\forall x \geq 0$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm, vmo, olympic

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh