Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

phương trình hàm vmo olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 52 trả lời

#41 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 26-10-2021 - 22:48

$\boxed{19}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f,g,h:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $$f(x+y)=g(x)+h(y), \forall x,y\in\mathbb R$$ (1)

Đặt $a:=f(0);b:=g(0);c:=h(0)$.

Thay $x=0$ vào $(1)$ ta có $f(y)=b+h(y),\forall y\in\mathbb R$.

Thay $y=0$ vào $(1)$ ta có $f(x)=g(x)+c,\forall x\in\mathbb R$.

Từ đó $f(x+y)=f(x)+f(y)-b-c,\forall x,y\in\mathbb R$.

Đặt $m(x)=f(x)-b-c,\forall x\in\mathbb R$ thì $m$ liên tục và $m(x+y)=m(x)+m(y)$ là hàm cộng tính. Suy ra $m(x)=px,\forall x\in\mathbb R$ với $p$ là hằng số.

Do đó $f(x)=px+b+c;g(x)=px+b;h(x)=px+c,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy nghiệm này thoả mãn.



#42 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 26-10-2021 - 23:19

$\boxed{20}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f:\mathbb R\to \mathbb R$ thỏa $$f(x+y)+f(x-y) = 2(f(x)+f(y)), \forall x,y\in\mathbb R$$ (*)

Hoán đổi vai trò của x, y trong (*) ta có $f(x-y)=f(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$. Do đó $f$ là hàm chẵn.

Thay $x=y=0$ vào (*) ta có $f(0)=0$.

Thay $x=y$ vào (*) ta có $f(2x)=4f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Giả sử đến $n;n\in N^*$ thì $f(nx)=n^2f(x)),\forall x\in\mathbb R$. Ta chứng minh $f((n+1)x)=(n+1)^2f(x)),\forall x\in\mathbb R$.

Thật vậy, thay $y$ bởi $nx$ ta có $f((n+1)x)+f((n-1)x)=2(f(x)+f(nx)\Rightarrow f((n+1)x)=(n+1)^2x,\forall x\in\mathbb R$. (Do $f(nx)=n^2x;f((n-1)x)=(n-1)^2x$)

Tương tự do $f$ là hàm chẵn nên với $n\in\mathbb Z;n<0$ ta có $f(nx)=f(-nx)=(-n)^2f(x)=n^2f(x)),\forall x\in\mathbb R$.

Từ đó với mọi $t=\frac{a}{b}\in\mathbb Q$ thì $f(tx)=f\left ( \frac{a}{b}x \right )=a^2f\left ( \frac{x}{b} \right )=\frac{a^2}{b^2}f(x)=t^2f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Với mỗi $x\in\mathbb R^+$ tồn tại dãy $(u_n)\in \mathbb Q^+$ sao cho $\lim_{n\to\infty}u_n=x$.

Do $f$ liên tục nên $f(x)=\lim_{n\to\infty}f(u_n)=\lim_{n\to\infty}u_n^2f(1)=x^2f(1)$.

Suy ra $f(x)=cx^2,\forall x\in\mathbb R^+$ với $c=f(1)$. Do $f$ là hàm chẵn nên $f(x)=cx^2,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

Vậy $f(x)=cx^2,\forall x\in\mathbb R$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 26-10-2021 - 23:22


#43 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 26-10-2021 - 23:21

$\boxed{21}$ Tìm tất cả hàm liên tục tại 0 thỏa $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y), \forall x,y\in\mathbb R$$

Đặt $g(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}$ thì $g$ liên tục tại 0.

Từ giả thiết ta có $g(x+y)=g(x)+g(y),\forall x,y\in\mathbb R$.

Từ đó $g$ là hàm cộng tính. Mà $g$ liên tục tại 0 nên $g$ là hàm tuyến tính.

Vậy $f(x)=\frac{x^3}{3}+cx,\forall x\in\mathbb R$ với c là hằng số.



#44 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 27-10-2021 - 08:30

Những bài tiếp theo: 

$\boxed{23}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R^{\geq 0} \to\mathbb R^{\geq 0}$ thỏa mãn $f(xf(y))+f(f(y)) = f(x)f(y)+2, \forall x,y \in\mathbb R^{\geq 0}$

$\boxed{24}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xy)=f(\frac{x^2+y^2}{2})+(x-y)^2, \forall x,y\in\mathbb R$

$\boxed{25}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(\sqrt{x^2+y^2})= f(x)+ f(y), \forall x,y\in\mathbb R$



#45 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 27-10-2021 - 11:44

$\boxed{24}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xy)=f(\frac{x^2+y^2}{2})+(x-y)^2, \forall x,y\in\mathbb R$

Từ phương trình hàm đã cho ta có $f(xy)+2xy=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)+(x^2+y^2),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)

Với mọi $a,b\in\mathbb R$, luôn tồn tại số dương $c$ sao cho $c>|a|$ và $c>|b|$.

Khi đó tồn tại $x,y,u,v$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{2}=c;xy=a$ và $\frac{u^2+v^2}{2}=c;uv=b$.

Do đó từ (1) suy ra $f(a)+2a=f(c)+2c=f(b)+2b$ nên $f(a)+2a=f(b)+2b$.

Suy ra $f(x)+2x$ là hàm hằng nên $f(x)=m-2x,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(x)=m-2x,\forall x\in\mathbb R$.



#46 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 27-10-2021 - 21:51

$\boxed{25}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(\sqrt{x^2+y^2})= f(x)+ f(y), \forall x,y\in\mathbb R$ (1)

Thay $x$ bởi $-x$ vào (1) ta có $f$ là hàm chẵn.

Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.

Ta chứng minh $f(\sqrt{n}x)=nf(x),\forall n\in\mathbb N^*,x\in\mathbb R^+$. (*)

Ta quy nạp theo $n$.

Với $n=1$ thì (*) luôn đúng.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n;n\in\mathbb N^*$. Ta chứng minh $(*)$ đúng với $n+1$.

Ta có $f(\sqrt{n}x)+f(x)=f\left(\sqrt{nx^2+x^2}\right)=f(\sqrt{n+1}x)\Rightarrow f(\sqrt{n+1}x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)$.

Suy ra $(*)$ luôn đúng.

Từ đó $f(nx)=nf(\sqrt{n}x)=n^2f(x),\forall n\in\mathbb N^*,x\in\mathbb R^+$. 

Do đó với mọi $t=\frac{a}{b}\in\mathbb Q^+(a,b\in\mathbb N^*)$ thì $f(tx)=f\left ( \frac{a}{b}x \right )=a^2f\left ( \frac{x}{b} \right )=\frac{a^2}{b^2}f\left ( x \right )=t^2f(x)\Rightarrow f(tx)=t^2f(x),\forall t\in\mathbb Q^+,x\in\mathbb R^+$.

Do đó $f(t)=t^2f(1),\forall t\in\mathbb R^+$.

Đặt $g(x)=\frac{f(x)}{x},\forall x\in\mathbb R^+\Rightarrow g(t)=tg(1),\forall t\in\mathbb Q^+$.

Do $g$ liên tục nên dễ dàng chứng minh được $g(x)=xg(1),\forall x\in\mathbb R^+$.

Từ đó $f(x)=x^2f(1),\forall x\in\mathbb R^+$. Kết hợp với $f$ là hàm chẵn và $f(0)=0$ ta có $f(x)=cx^2,\forall x\in\mathbb R$ với $c$ là hằng số bất kì.

Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(x)=cx^2,\forall x\in\mathbb R$.



#47 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 31-10-2021 - 19:16

$\boxed{22}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R^+ \to\mathbb R^+$ là $f$ là ánh xạ biến cấp số cộng $x$, $x+y$, $x+2y$ thành cấp số nhân $f(x)$, $f(x+y)$, $f(x+2y)$ và thỏa mãn $$f(x+y)^2=f(x)f(x+2y), \forall x,y\in\mathbb R^+$$

Từ giả thiết ta có $$f(x)f(y)=f(x)f\left ( x+\frac{y-x}{2}.2 \right )=f\left ( x+\frac{y-x}{2} \right )^2=f\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2,\forall 0<x<y$$

Điều này vẫn đúng với $x=y$ nên: $$f(x)f(y)=f\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2,\forall x,y\in\mathbb R^+$$

Nếu tồn tại $u<v$ sao cho $f(u)\leq f(v)$.

Ta có $$f\left ( \frac{u+v}{2} \right )^2=f(u)f(v)\Rightarrow f(u)\leq f\left(\frac{u+v}{2}\right)\leq f(v)$$

Lặp lại tương tự với các số thuộc đoạn $[u,v]$ ta có $f$ là hàm không giảm trên $[u,v]$.

Từ đó ta dễ dàng chứng minh được $f$ là hàm không giảm trên $\mathbb R^+$.

Tương tự nếu tồn tại $u<v$ sao cho $f(u)\geq f(v)$ thì $f$ là hàm không tăng trên $\mathbb R^+$.

Do đó $f$ là hàm đơn điệu hoặc là hàm hằng.

Xét trường hợp $f$ không là hàm hằng.

Đặt $g(x)=\ln f(x),\forall x\in\mathbb R^+$.

Ta có $$2g\left(\frac{x+y}{2}\right)=2\ln\left ( f\left ( \frac{x+y}{2} \right ) \right )=2\ln\left (\sqrt{f(x)f(y)}\right )=\ln\left(f(x)f(y)\right)=g(x)+g(y),\forall x,y\in\mathbb R^+ (*)$$ 

Sử dụng CDE ta có $$f\left ( \frac{x+y+z}{2} \right )=\frac{f(x)+f(y+z)}{2}=\frac{2f(x)+f(2y)+f(2z)}{4},\forall x,y,z\in\mathbb R^+$$

Đổi vị trí của $x$ và $y$ ở trên ta có $$f(2x)-f(x)=f(2y)-f(y),\forall x,y\in\mathbb R^+$$

Do đó $$f(2x)-f(x)=b,\forall x\in\mathbb R^+$$ (với $b$ là hằng số nào đó)

Thay lại vào (*) ta có $$g(x)+g(y)=g(x+y)-b,\forall x,y\in\mathbb R^+$$

Đặt $$h(x)=g(x)-b,\forall x\in\mathbb R^+$$

Khi đó $$h(x)+h(y)=h(x+y),\forall x,y\in\mathbb R^+$$

Do $f$ đơn điệu nên $g$ cũng đơn điệu, suy ra $h$ đơn điệu.

Mà $h$ là hàm Cauchy nên: $$h(x)=ax,\forall x\in\mathbb R^+$$ ($a$ là hằng số khác 0)

Từ đó: $$g(x)=ax+b,\forall x\in\mathbb R^+$$

Suy ra: $$f(x)=e^{ax+b},\forall x\in\mathbb R^+$$

Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

Tóm lại, $f(x)=e^{ax+b},\forall x\in\mathbb R^+$, với $a,b$ là hằng số bất kì.



#48 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 31-10-2021 - 19:36

$\boxed{16}$ Cho tất cả các hàm $f:\mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R$ thỏa 

$$f(a+b+c+d) = f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$$ với $a,b,c,d$ là các số thực. Chứng minh rằng $f$ là hàm cộng tính

Sử dụng CDE ta có $f(a+b+c+d+e)=f(a+e)+f(b)+f(c)+f(d)$.

Từ đó kết hợp với giả thiết ta có $f(a+b+c+d+e)-f(a+e)=f(a+b+c+d)-f(a)\Rightarrow f(a+b+c+d+e)+f(a)=f(a+b+c+d)+f(a+e),\forall a,b,c,d,e>0$.

Do đó với mọi $u,v,m,n>0$ thoả mãn $u+v=m+n$ thì $f(u)+f(v)=f(m)+f(n)$.

Từ giả thiết nếu $a,b,c,d$ là các số thực dương thoả mãn $a+b=c+d$ thì $f(2(a+b))=2(f(a)+f(b)),\forall a,b>0$. (1)

Tiếp tục sử dụng CDE, ta có $f(2(a+b+c))=2(f(a+b)+f(c))=4f\left (\frac{a}{2} \right )+4f\left ( \frac{b}{2} \right )+2f(c),\forall a,b,c>0$.

Thay vai trò của $b$ và $c$ ta có $f(b)-2f\left(\frac{b}{2}\right)=f(c)-2f\left(\frac{c}{2}\right),\forall b,c>0$.

Do đó tồn tại $m$ sao cho $f(2a)-2f(a)=m,\forall a>0$.

Mặt khác thay $a=b$ vào (1) ta có $f(4a)=4f(a),\forall a>0$.

Do đó $m=0$. Suy ra $f(2a)=2f(a),\forall a>0$.

Thay lại vào (1) ta có $f(a+b)=f(a)+f(b),\forall a,b>0$.

Vậy $f$ là hàm cộng tính.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 31-10-2021 - 19:37


#49 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 15-11-2021 - 22:56

Thêm vài bài mừng 200 posts :v

 

$\boxed{26}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(x^3+x-2+y)=f(x^3+x-2)+f(y^3), \forall x,y\in\mathbb{R}$$
$\boxed{27}$ Tìm tất cả hàm $f,g:\mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn 
$$f(x^3+4y)+f(x+y)=g(x+y), \forall x,y,\in\mathbb R$$
$\boxed{28}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(x)^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x)), \forall x,y\in\mathbb R$$ 
Gợi ý: Chứng minh $\forall x\in\mathbb R$ thì $x=f(u_1(x))\pm f(u_2(x))$.
$\boxed{29}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R \to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(x^2f(x)+ f(y))=f(x)^3 + y, \forall x,y \in \mathbb R$$
$\boxed{30}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn
$$ f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y), x,y \in \mathbb R$$


#50 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 17-11-2021 - 11:58

$\boxed{26}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f(x^3+x-2+y)=f(x^3+x-2)+f(y^3), \forall x,y\in\mathbb{R}$$

Do với mọi $a\in\mathbb R$, phương trình $x^3+x-2=a$ luôn có nghiệm thực nên ta có thể viết lại giả thiết thành: $f(x+y)=f(x)+f(y^3),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)

Thay $x=y=0$ vào (1) ta có $f(0)=0$.

Thay $x=0$ ta có $f(y)=f(y^3),\forall y\in\mathbb R$.

Từ đó $f(x)+f(y)=f(x+y),\forall x,y\in\mathbb R$.

Mà $f(x+y)=f((x+y)^3)=f(x^3)+f(y^3)+f(3xy(x+y))$ và $f(x^3)=f(x);f(y^3)=f(y)$ nên $f(3xy(x+y))=0,\forall x,y\in\mathbb R$.

Do $3xy(x+y)$ nhận mọi giá trị thuộc $\mathbb R$ nên $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$.

Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy...



#51 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 17-11-2021 - 12:05

$\boxed{27}$ Tìm tất cả hàm $f,g:\mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn 

$$f(x^3+4y)+f(x+y)=g(x+y), \forall x,y,\in\mathbb R$$ (*)

Thay $y$ bởi $\frac{-x^3}{4}$ vào (*) ta có $f(0)+f\left(x-\frac{x^3}{4}\right)=g\left(x-\frac{x^3}{4}\right),\forall x\in\mathbb R$.

Tương tự ta thấy $x-\frac{x^3}{4}$ nhận mọi giá trị trong $\mathbb R$ nên $f(0)+f(x)=g(x),\forall x\in\mathbb R$.

Từ đó $(*)$ được viết lại thành $f(x^3+4y)=f(0),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó $f(x)=a,\forall x\in\mathbb R$. (a là hằng số bất kì)

Khi đó $g(x)=2a,\forall x\in\mathbb R$.

Vậy...



#52 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 21-11-2021 - 23:08

$\boxed{28}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn

$$f(x)^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x)), \forall x,y\in\mathbb R$$ (1)

Thay $y=0$ vào (1) ta có $f(x)^2+f(0)=f(f(x)),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $-f(x)$ vào (1) ta có $f(-f(x))=f(0)+f(x)^2,\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $-f(y)$ vào (1) ta có $f(x)^2-2f(x)f(y)+f(-f(y))=f(f(x)-f(y))\Rightarrow f(f(x)-f(y))=(f(x)-f(y))^2+f(0),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)

+) Nếu $f(x)= 0,\forall x\in\mathbb R$ thì ta thấy thoả mãn.

+) Nếu tồn tại $a$ sao cho $f(a)\neq 0$:

Thay $x=a$ ta có $2ay+a^2=f(y+a)-f(y)\Rightarrow f(2ay+a^2)=f(f(y+a)-f(y))=[f(y+a)-f(y)]^2+f(0)=2ay+a^2+f(0),\forall y\in\mathbb R$. (Do (2))

Mặt khác $2ay+a^2$ là hàm bậc nhất đối với $y$ nên nó nhận mọi giá trị trong $\mathbb R$.

Do đó $f(x)=x^2+f(0),\forall x\in\mathbb R$.

Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x^2+a,\forall x\in\mathbb R$ (với $a$ là hằng số bất kì)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 21-11-2021 - 23:09


#53 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 21-11-2021 - 23:10

$\boxed{29}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R \to\mathbb R$ thỏa mãn

$$f(x^2f(x)+ f(y))=f(x)^3 + y, \forall x,y \in \mathbb R$$

Từ giả thiết ta thấy $f$ là toàn ánh.

Do đó tồn tại a sao cho $f(a)=0$.

Thay $x=a$ ta có $f(f(y))=y,\forall y\in\mathbb R$.

Do đó $f$ là đơn ánh.

Thay $x=0$ suy ra $f(0)^3=0\Rightarrow f(0)=0$.

Thay $y=0$ ta có $f(x^2f(x))=f(x)^3$.

Thay $y=-f(x)^3$ ta có $f(x^2f(x)+f(-f(x)^3))=0=f(0)\Rightarrow x^2f(x)+f(-f(x)^3)=0\Rightarrow f(-f(x)^3)=-f(x)^3$.
Mặt khác $f$ toàn ánh nên $-f(x)^3$ cũng toàn ánh. 

Do đó $f(x)=x^3,\forall x\in\mathbb R$.

Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(x)=x^3,\forall x\in\mathbb R$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm, vmo, olympic

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh