$\boxed{22}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R^+ \to\mathbb R^+$ là $f$ là ánh xạ biến cấp số cộng $x$, $x+y$, $x+2y$ thành cấp số nhân $f(x)$, $f(x+y)$, $f(x+2y)$ và thỏa mãn $$f(x+y)^2=f(x)f(x+2y), \forall x,y\in\mathbb R^+$$
Từ giả thiết ta có $$f(x)f(y)=f(x)f\left ( x+\frac{y-x}{2}.2 \right )=f\left ( x+\frac{y-x}{2} \right )^2=f\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2,\forall 0<x<y$$
Điều này vẫn đúng với $x=y$ nên: $$f(x)f(y)=f\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2,\forall x,y\in\mathbb R^+$$
Nếu tồn tại $u<v$ sao cho $f(u)\leq f(v)$.
Ta có $$f\left ( \frac{u+v}{2} \right )^2=f(u)f(v)\Rightarrow f(u)\leq f\left(\frac{u+v}{2}\right)\leq f(v)$$
Lặp lại tương tự với các số thuộc đoạn $[u,v]$ ta có $f$ là hàm không giảm trên $[u,v]$.
Từ đó ta dễ dàng chứng minh được $f$ là hàm không giảm trên $\mathbb R^+$.
Tương tự nếu tồn tại $u<v$ sao cho $f(u)\geq f(v)$ thì $f$ là hàm không tăng trên $\mathbb R^+$.
Do đó $f$ là hàm đơn điệu hoặc là hàm hằng.
Xét trường hợp $f$ không là hàm hằng.
Đặt $g(x)=\ln f(x),\forall x\in\mathbb R^+$.
Ta có $$2g\left(\frac{x+y}{2}\right)=2\ln\left ( f\left ( \frac{x+y}{2} \right ) \right )=2\ln\left (\sqrt{f(x)f(y)}\right )=\ln\left(f(x)f(y)\right)=g(x)+g(y),\forall x,y\in\mathbb R^+ (*)$$
Sử dụng CDE ta có $$f\left ( \frac{x+y+z}{2} \right )=\frac{f(x)+f(y+z)}{2}=\frac{2f(x)+f(2y)+f(2z)}{4},\forall x,y,z\in\mathbb R^+$$
Đổi vị trí của $x$ và $y$ ở trên ta có $$f(2x)-f(x)=f(2y)-f(y),\forall x,y\in\mathbb R^+$$
Do đó $$f(2x)-f(x)=b,\forall x\in\mathbb R^+$$ (với $b$ là hằng số nào đó)
Thay lại vào (*) ta có $$g(x)+g(y)=g(x+y)-b,\forall x,y\in\mathbb R^+$$
Đặt $$h(x)=g(x)-b,\forall x\in\mathbb R^+$$
Khi đó $$h(x)+h(y)=h(x+y),\forall x,y\in\mathbb R^+$$
Do $f$ đơn điệu nên $g$ cũng đơn điệu, suy ra $h$ đơn điệu.
Mà $h$ là hàm Cauchy nên: $$h(x)=ax,\forall x\in\mathbb R^+$$ ($a$ là hằng số khác 0)
Từ đó: $$g(x)=ax+b,\forall x\in\mathbb R^+$$
Suy ra: $$f(x)=e^{ax+b},\forall x\in\mathbb R^+$$
Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.
Tóm lại, $f(x)=e^{ax+b},\forall x\in\mathbb R^+$, với $a,b$ là hằng số bất kì.