Đến nội dung


Hình ảnh

Vietnam TST 2021

tst 2021

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 02-04-2021 - 23:19

Ngày thi thứ nhất
Thời gian: 270 phút

Bài 1 (7 điểm): Cho dãy số $\left ( a_n \right )$ được xác định bởi $a_1 =1$ và $\left\{\begin{matrix} a_{2n}=a_n \\ a_{2n+1} = a_n +1  \end{matrix}\right.$ với $n \geq 1$.

a) Tìm tất cả $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k \leq n$.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số $m$ nguyên dương mà $a_{km} \geq a_m$ với mọi số $k$ nguyên dương.

 

Bài 2 (7 điểm): Cho bảng ô vuông $2021 \times 2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu được $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó thì có chung đỉnh với tối đa 1 ô được đánh dấu.

 

Bài 3 (7 điểm): Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự với 2 cặp điểm còn lại là $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_c C_b$. Xác định tương tự với $m_b, m_c$.

a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua phân giác các góc $\widehat{BNC}, \widehat{CNA}, \widehat{ANB}$ thì trùng nhau.

b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm.

 

 

Ngày thi thứ hai
Thời gian: 270 phút

Bài 4 (7 điểm): Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn

$2 \left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +3(ab+bc+ca)=5(a+b+c)$.

Chứng minh rằng $4\left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +2(ab+bc+ca)+7abc \leq 25$ .

 

Bài 5 (7 điểm): Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$. Trên tia $FA, EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE,FN=BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.

a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.

b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP//AB,GQ//AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.

 

Bài 6 (7 điểm): Cho số nguyên dương $n \geq 3$ và số nguyên tố $p$ thoả mãn $p > 6^{n-1}-2^n+1$. Xét tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho có đúng hai bộ số $(x,y,z) \in S^3$ có thứ tự, có các thành phần phân biệt mà $x-y+z-c$ chia hết cho $p$.

- HẾT -

 



#2 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 04-04-2021 - 10:04

Bài 4 (7 điểm): Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $2 \left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +3(ab+bc+ca)=5(a+b+c)$.

Chứng minh rằng $4\left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +2(ab+bc+ca)+7abc \leq 25$ .

Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$ thì giả thiết trở thành $2(p^2-2q)+3q=5p\Rightarrow q=p(2p-5)$ và ta cần chứng minh: $4p^2-6q+7r\leqslant 25$ 

Do a, b, c không âm nên $q\geqslant 0\Rightarrow p(2p-5) \geqslant 0$  suy ra hoặc $p = 0$ hoặc $p\geqslant \frac{5}{2}$ (1)

Theo một đánh giá quen thuộc: $3q\leqslant p^2 \Rightarrow p(2p-5)=q\leqslant \frac{p^2}{3} \Rightarrow 5p(p-3)\leqslant 0\Rightarrow 0\leqslant p\leqslant 3 $  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $p = r = 0$ hoặc $\frac{5}{2}\leqslant p\leqslant 3$  

* Xét $p = 0$ thì $q = 0$ và bất đẳng thức hiển nhiên đúng

* Xét $\frac{5}{2}\leqslant p\leqslant 3$ thì ta có:  $4p^2-6q+7r-25\leq 4p^2-6p(2p-5)+7.\frac{pq}{9}-25=\frac{14}{9}p^3-\frac{107}{9}p^2+30p-25=\frac{1}{9}(p-3)(p-\frac{5}{2})(14p-30)\leqslant 0$*luôn đúng với mọi p thuộc $[\frac{5}{2},3]$*

$\Rightarrow 4p^2-6q+7r\leqslant 25 (Q.E.D)$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-04-2021 - 21:14

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3 ongtrum1412

ongtrum1412

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 09-04-2021 - 22:13

Ngô Quý Đăng KHTN lớp 10 hcv IMO 2020 năm ngoái k đc dự thi năm nay? tiếc quá



#4 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 10-04-2021 - 06:16

Ngô Quý Đăng KHTN lớp 10 hcv IMO 2020 năm ngoái k đc dự thi năm nay? tiếc quá

Ngô Quý Đăng vẫn có tên trong danh sách dự thi Vietnam TST 2021 nhé



#5 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

Đã gửi 11-04-2021 - 10:59

Ngô Quý Đăng vẫn có tên trong danh sách dự thi Vietnam TST 2021 nhé

Cu Đăng tạch rùi ! Tiếc quá.Cu Lâm , Cu Nghĩa phong độ víp quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 11-04-2021 - 11:01





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh