Ngày thi thứ nhất
Thời gian: 270 phút
Bài 1 (7 điểm): Cho dãy số $\left ( a_n \right )$ được xác định bởi $a_1 =1$ và $\left\{\begin{matrix} a_{2n}=a_n \\ a_{2n+1} = a_n +1 \end{matrix}\right.$ với $n \geq 1$.
a) Tìm tất cả $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k \leq n$.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số $m$ nguyên dương mà $a_{km} \geq a_m$ với mọi số $k$ nguyên dương.
Bài 2 (7 điểm): Cho bảng ô vuông $2021 \times 2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu được $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó thì có chung đỉnh với tối đa 1 ô được đánh dấu.
Bài 3 (7 điểm): Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự với 2 cặp điểm còn lại là $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_c C_b$. Xác định tương tự với $m_b, m_c$.
a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua phân giác các góc $\widehat{BNC}, \widehat{CNA}, \widehat{ANB}$ thì trùng nhau.
b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm.
Ngày thi thứ hai
Thời gian: 270 phút
Bài 4 (7 điểm): Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn
$2 \left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +3(ab+bc+ca)=5(a+b+c)$.
Chứng minh rằng $4\left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +2(ab+bc+ca)+7abc \leq 25$ .
Bài 5 (7 điểm): Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$. Trên tia $FA, EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE,FN=BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.
b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP//AB,GQ//AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.
Bài 6 (7 điểm): Cho số nguyên dương $n \geq 3$ và số nguyên tố $p$ thoả mãn $p > 6^{n-1}-2^n+1$. Xét tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho có đúng hai bộ số $(x,y,z) \in S^3$ có thứ tự, có các thành phần phân biệt mà $x-y+z-c$ chia hết cho $p$.
- HẾT -
