Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi olympic 30/4 môn Toán khối 10 năm 2021


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 12DecMath

12DecMath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:🐉🐣 η𝔲ϻв𝕖𝓡 ⓉhE𝕠R𝐘 ᵃŇᗪ 𝐠ⓔ𝔬𝔪Ⓔ𝐓ⓡ𝐲 🐤👤

Đã gửi 03-04-2021 - 12:59

Đề thi Olympic 30/4 môn Toán khối 10 năm 2021

Bài 1: Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác có chu vi là $2$. Chứng minh rằng:

\[2\sqrt 2  + \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc}}{6} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} + {a^2}}  < 2\sqrt 3 \]

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = y + 1\\
{y^2} - 1 = z + 1\\
{z^2} - 1 = x + 1
\end{array} \right.\]

Chứng minh rằng $x+y+z$ là số nguyên.

Bài 3: Với mỗi số nguyên $n \ge 2$, xét một bảng gồm $(2n - 1) \times (2n-1)$ ô vuông. Người ta viết các số $-1, 0, 1$ vào mỗi ô vuông sao cho với mọi bảng con $2 \times 2$, ta luôn tìm được 3 ô sao cho tổng các số viết trên mỗi ô vuông này bằng $0$. Đặt $S_n$ là giá trị lớn nhất của tổng các số được viết trên bảng.

(a) Chứng minh rằng $S_2=5$.

(b) Chứng minh rằng $S_n = n^2+n-1$.

Bài 4:

(a) Chứng minh rằng tồn tại hai cặp số $(a,b)$ sao cho $a,b$ là những số nguyên dương thỏa mãn:

$$a^2 + 3b^2 = 7^9$$

(b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình

$$x^2 + y^2 + xy= 7^n$$

có nghiệm trong tập các số nguyên không chia hết cho $7$.

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia $AO$ cắt $BC$ tại $L$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$. Tiếp tuyến tại $A'$ của đường tròn ngoại tiếp $A'BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.

(a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A'BD, A'CE, A'AL$ đồng quy tại một điểm khác $A'$.

(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác $ABC, JDE$ tiếp xúc nhau.

Hình gửi kèm

  • 165824178_2878120069129806_1418144229625747948_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2021 - 17:08
Gõ LaTeX của đề


#2 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 03-04-2021 - 15:36

Bài 4:

Ta chứng minh với mọi $n\in\mathbb{N*}$ phương trình $a^2+3b^2=7^n$ (*) luôn có nghiệm nguyên dương. 

Với n = 1 ta có $a=2;b=1$.

Giả sử với n; $n\in\mathbb{N}*$ phương trình (*) có hai nghiệm a, b. 

Ta có $7^{n+1}=7(a^2+3b^2)=(2a+3b)^2+3(a-2b)^2$.

Do đó phương trình (*) cũng có nghiệm nguyên dương với n + 1.

Vậy ta có đpcm.



#3 Syndycate

Syndycate

    Lính mới

  • Điều hành viên THCS
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-04-2021 - 23:52

Giải câu hình của mình.

Hình gửi kèm

  • fff'.jpg


#4 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 04-04-2021 - 09:30

Bài 2:

Ta thấy nếu trong 3 số x, y, z tồn tại 1 số bằng -1 hoặc 2 thì cả ba số đó bằng -1 hoặc 2, tức x + y + z là số nguyên.

Xét TH x, y, z khác -1; 2.

Đặt x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz= r.

Ta có $\left\{\begin{matrix} (x-1)(x+1)=y+1 & & \\(y-1)(y+1)=z+1 & & \\ (z-1)(z+1)=x+1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=1\Rightarrow r-q+p=2$. (1)

Ta có $\left\{\begin{matrix} (x-2)(x+2)=y-2 & & \\(y-2)(y+2)=z-2 & & \\ (z-2)(z+2)=x-2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x+2)(y+2)(z+2)=1\Rightarrow r+2q+4p=-7$. (2)

Ta cũng có $\left\{\begin{matrix} (x-y)(x+y)=y-z & & \\ (y-z)(y+z)=z-x& & \\ (z-x)(z+x)=x-y & & \end{matrix}\right.$ nên pq - r = 1. (3)

Từ (1), (3) suy ra $pq-q+p=3$.

Từ (1), (2) suy ra $3q+3p=-9\Rightarrow q+p=-3\Rightarrow q=-3-p$.

Từ đó $(-3-p)p-(-3-p)+p=3\Leftrightarrow p\in0;-1$ là số nguyên.



#5 truonganh2812

truonganh2812

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 04-04-2021 - 19:10

. hóng ai tl


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truonganh2812: 04-04-2021 - 19:11


#6 yungazier

yungazier

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 04-04-2021 - 19:15

.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yungazier: 05-04-2021 - 12:43


#7 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 04-04-2021 - 23:04

Câu 2: Đặt $f(t)=t^2$ , $g(t) = t+2$   

Giả sử $x = max${$x,y,z$}

Ta có được $x\geq z$ và $x \geq y$ 

$g(x) \geq g(y)$ và $g(x) \geq g(z)$ (vì $x,y,z \geq 0$ nên $f(t) , g(t)$ đồng biến trên $[0; \infty)$ )

Suy ra $g(x) \geq f(x)$ và $g(z) \leq f(z)$

Giải 2 cái bất phương trình trên được $-1 \leq x \leq 2$ với lại $z \geq 2$ hoặc $z \leq -1$

Kết hợp các điều kiện trên ta có $x=z=2$ hoặc $x=z=-1$ 

Thay vào cũng được $y=2$ hoặc $y=-1$

Vậy $x+y+z$ là số nguyên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 04-04-2021 - 23:05


#8 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 04-04-2021 - 23:12

Bài 4a: Bài này có thể giải được nếu ta lập luận, sử dụng phép chọn

Ta có $a^2+3b^2=7^9$

$\Leftrightarrow a^2-4b^2+7b^2=7^9$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a+2b) = 7(7^8-b^2)$

Ta có thể chọn $b=7^4$ để $VP=0$ thì ta sẽ có $a=2b$ do đó $a=2.7^4$

Như vậy ta đã chọn được 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho thỏa mãn YCBT.



#9 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 05-04-2021 - 12:00

Câu 2: Đặt $f(t)=t^2$ , $g(t) = t+2$   

Giả sử $x = max${$x,y,z$}

Ta có được $x\geq z$ và $x \geq y$ 

$g(x) \geq g(y)$ và $g(x) \geq g(z)$ (vì $x,y,z \geq 0$ nên $f(t) , g(t)$ đồng biến trên $[0; \infty)$ )

Suy ra $g(x) \geq f(x)$ và $g(z) \leq f(z)$

Giải 2 cái bất phương trình trên được $-1 \leq x \leq 2$ với lại $z \geq 2$ hoặc $z \leq -1$

Kết hợp các điều kiện trên ta có $x=z=2$ hoặc $x=z=-1$ 

Thay vào cũng được $y=2$ hoặc $y=-1$

Vậy $x+y+z$ là số nguyên.

Lời giải có thể có vấn đề vì nếu x, y, z là ba nghiệm phân biệt của phương trình $t^3-3t+1=0$ theo thứ tự nào đó thì cũng thỏa mãn hệ đó.



#10 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 05-04-2021 - 15:01

Lời giải có thể có vấn đề vì nếu x, y, z là ba nghiệm phân biệt của phương trình $t^3-3t+1=0$ theo thứ tự nào đó thì cũng thỏa mãn hệ đó.


Anh thấy cx có vấn đề vì điều kiện $x,y,z$ mới lớn hơn -2 thôi nên chưa đồng biến.

#11 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-04-2021 - 13:08

Bài 4b thì phân tích $4.7^n = 4x^2 + 4xy + 4y^2 = (x-y)^2 + 3(x+y)^2 = a^2+3b^2$. Giờ xây dưng một họ nghiệm lên theo đẳng thức của bạn hoang72.

Bài này là phương trình Pell trá hình.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#12 hanishuri

hanishuri

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-04-2021 - 15:58

Bài 1 ý tưởng khá ổn:
Phần 1 là biến đổi về tổng bình phương rồi chứng minh hệ số >=0
Phần 2 sử dụng dồn biến để đưa về trường hợp a=1

#13 hanishuri

hanishuri

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-04-2021 - 23:30

Bài 4b thì phân tích $4.7^n = 4x^2 + 4xy + 4y^2 = (x-y)^2 + 3(x+y)^2 = a^2+3b^2$. Giờ xây dưng một họ nghiệm lên theo đẳng thức của bạn hoang72.

Bài này là phương trình Pell trá hình.

Bạn giải thích rõ hơn được không. Bởi phải tìm $a,b$ nguyên và không chia hết cho $7$ thỏa mãn $a^2+3b^2=4.7^n$ mà điều đó chắc gì đã tồn tại với mọi $n$?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanishuri: 07-04-2021 - 23:32


#14 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 07-04-2021 - 23:49

Bạn giải thích rõ hơn được không. Bởi phải tìm $a,b$ nguyên và không chia hết cho $7$ thỏa mãn $a^2+3b^2=4.7^n$ mà điều đó chắc gì đã tồn tại với mọi $n$?

Có một đẳng thức thế này: \[\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right)\left( {{c^2} + 3{d^2}} \right) = {\left( {ac - 3bd} \right)^2} + 3{\left( {ad + bc} \right)^2} = {\left( {ac + 3bd} \right)^2} + 3{\left( {ad - bc} \right)^2}\]

Nên nếu $(a,b),(c,d)$ là nghiệm của phương trình ban đầu thì $(ac-3bd,ad+bc), (ac+3bd,ad-bc)$ cũng sẽ là nghiệm. Từ đó chỉ cần tìm hai nghiệm căn bản, ví dụ $(1,1),(2,1)$ rồi dùng đẳng thức này mà xây lên họ nghiệm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#15 hanishuri

hanishuri

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-04-2021 - 00:00

Có một đẳng thức thế này: \[\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right)\left( {{c^2} + 3{d^2}} \right) = {\left( {ac - 3bd} \right)^2} + 3{\left( {ad + bc} \right)^2} = {\left( {ac + 3bd} \right)^2} + 3{\left( {ad - bc} \right)^2}\]

Nên nếu $(a,b),(c,d)$ là nghiệm của phương trình ban đầu thì $(ac-3bd,ad+bc), (ac+3bd,ad-bc)$ cũng sẽ là nghiệm. Từ đó chỉ cần tìm hai nghiệm căn bản, ví dụ $(1,1),(2,1)$ rồi dùng đẳng thức này mà xây lên họ nghiệm.

Đẳng thức này thì ok mình biết nhưng bạn có chứng minh được dãy nghiệm bạn xây dựng không có trường hợp nào chia hết cho $7$ không? Bởi mình đã thử biến đổi về dạng $(2x+y)^2+3y^2=4.7^n$ nhưng khi thực hiện bước quy nạo tìm nghiệm đều ko chỉ ra được.



#16 hanishuri

hanishuri

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-04-2021 - 00:14

Câu tổ hợp thì gồm hai câu, trong đó câu $1$ là cơ sở để làm câu $2$:

Chú ý đầu tiên cần lưu ý là tổng các số của một bảng con $2$ nhân $2$ thì không vượt quá $1$.

  • Câu $1$ thì ta chia bảng thành hai phần, trong đó phần $1$ là bảng con $2$ nhân $2$ nằm ở góc trên bên trái, phần $2$ là còn lại.

Tổng các số ở phần $1$ thì không vượt quá $1$ còn phần $2$ không vượt quá $4$ bởi ô vuông góc dưới bên phải và hai ô có cạnh chung với nó thì không cùng điền số $1$. 

Cuối cùng, xây dựng trường hợp thỏa mãn. Cái này thì xây dựng tổng quát thì nói sau.

  • Câu $2$ thì thì bạn truy hồi tính $S_(n+1)$ theo $S_n$ bằng truy hồi. Thực hiện chia bảng tương tự, trong đó phần $1$ là bảng con $(2n-1)$ nhân $(2n-1)$ và phần 2 là các ô còn lại.

Tổng các ô ở phần $1$ thì không vượt quá $S_n$. Phần $2$, ta chia thành các bảng con $2$ nhân $2$ dọc theo chiều dọc và chiều ngang của bảng. Khi đó, có thêm $2n$ bảng con như vậy và ô ở hàng $2n$ và cột $2n$ được tính hai lần.Dẫn đến tổng các ô ở phần $2$ không vượt quá $2n+2$.

$\Rightarrow S_(n+1) \leq S_(n)+2n+2$. Từ đó được $S_(n) \leq n^2+n-1$.

  • Xây dựng trường hợp xảy ra dấu đẳng thức với mọi $n$:

Ta điền số như sau: Tất cả các số ở cột lẻ điền số $1$, các số ở cột chẵn và hàng lẻ điền số $0$, còn lại điền số $-1$.



#17 hanishuri

hanishuri

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-04-2021 - 13:18

Bài 4:

Ta chứng minh với mọi $n\in\mathbb{N*}$ phương trình $a^2+3b^2=7^n$ (*) luôn có nghiệm nguyên dương. 

Với n = 1 ta có $a=2;b=1$.

Giả sử với n; $n\in\mathbb{N}*$ phương trình (*) có hai nghiệm a, b. 

Ta có $7^{n+1}=7(a^2+3b^2)=(2a+3b)^2+3(a-2b)^2$.

Do đó phương trình (*) cũng có nghiệm nguyên dương với n + 1.

Vậy ta có đpcm.

Ý tưởng bạn đúng nhưng chưa chặt chẽ bởi nếu áp dụng như bạn thì đến $n=2$ là có vấn đề.

Bạn nên bổ sung thêm đẳng thức $7^{n+1}=7(a^2+3b^2)=(2a+3b)^2+3(a-2b)^2=(2a-3b)^2+3(a+2b)^2$

Rồi dựa theo tính chất của $a,b$ để lựa chọn khai triển thích hợp.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh