#1
Đã gửi 04-04-2021 - 23:46
#2
Đã gửi 05-04-2021 - 00:01
#3
Đã gửi 05-04-2021 - 11:48
#4
Đã gửi 05-04-2021 - 20:18
Câu 2: $2)$ (Cách 1) $(q+p)^p = (q-p)^{2q-1}$ (1)
Dễ dàng thấy được từ phương trình (1).
Gọi $d=GCD(p;2q-1)$. Vì $d|p$ và $p$ là số nguyên tố, ta có $d=1$ hoặc $d=p$.
Ta chia 2 trường hợp
Trường hợp 1: $d=1$. Do đó tồn tại 2 số nguyên dương $u$ và $v$ sao cho.
.
Do đó từ phương trình (2)
,
hay nói cách khác là $4^{q-1}<q$, điều này là không thể vì $q \geq 3$. Điều mâu thuẫn này dẫn đến phương trình (1) vô nghiệm.
Trường hợp 2: $d=p$. Do đó tồn tại một số nguyên dương sao cho: $2q-1=(2r+1)p$. Vì vậy từ phương trình (1) ta có
.
Hơn nữa ta lại có:
và ,
thay vào phương trình (3) ta sẽ có:
.
Đặt . Từ phương trình (4) ta có:
, vì vậy ta lại có thêm được
,
Suy ra $p|3$, hay $p=3$, là một nghiệm của phương trình (5). Do đó , suy ra $q=5$.
Nên $(p,q)=(3;5)$ là nghiệm của phương trình (1).
Giả sử $r \geq 2$. Từ phương trình (4) suy ra
,
điều đó cho ta được
.
Vì vậy phương trình trên vô nghiệm với $r \geq 2$.
Vậy $(p,q)=(3;5)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-04-2021 - 20:19
- Mr handsome ugly và DaiphongLT thích
#5
Đã gửi 05-04-2021 - 20:30
Câu 2: $2)$ (Cách 1) $(q+p)^p = (q-p)^{2q-1}$ (1)
Dễ dàng thấy được từ phương trình (1).
Gọi $d=GCD(p;2q-1)$. Vì $d|p$ và $p$ là số nguyên tố, ta có $d=1$ hoặc $d=p$.
Ta chia 2 trường hợp
Trường hợp 1: $d=1$. Do đó tồn tại 2 số nguyên dương $u$ và $v$ sao cho.
.
Do đó từ phương trình (2)
,
hay nói cách khác là $4^{q-1}<q$, điều này là không thể vì $q \geq 3$. Điều mâu thuẫn này dẫn đến phương trình (1) vô nghiệm.
Trường hợp 2: $d=p$. Do đó tồn tại một số nguyên dương sao cho: $2q-1=(2r+1)p$. Vì vậy từ phương trình (1) ta có
.
Hơn nữa ta lại có:
và ,
thay vào phương trình (3) ta sẽ có:
.
Đặt . Từ phương trình (4) ta có:
, vì vậy ta lại có thêm được
,
Suy ra $p|3$, hay $p=3$, là một nghiệm của phương trình (5). Do đó , suy ra $q=5$.
Nên $(p,q)=(3;5)$ là nghiệm của phương trình (1).
Giả sử $r \geq 2$. Từ phương trình (4) suy ra
,
điều đó cho ta được
.
Vì vậy phương trình trên vô nghiệm với $r \geq 2$.
Vậy $(p,q)=(3;5)$.
Mình nghĩ không cần dài vậy đâu
Xét p khác q; để ý ta thấy (p-q; p+q)=2 mà theo đề bài thì p+q và p-q phải có cùng tập ước nguyên tố nên... (đoạn này mình xin gợi ý thế thôi )
Xét q=p ; cái này thì dễ rồi ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 05-04-2021 - 20:31
- Syndycate, DaiphongLT và pcoVietnam02 thích
#6
Đã gửi 05-04-2021 - 20:36
Mình nghĩ không cần dài vậy đâu
Xét p khác q; để ý ta thấy (p-q; p+q)=2 mà theo đề bài thì p+q và p-q phải có cùng tập ước nguyên tố nên... (đoạn này mình xin gợi ý thế thôi )
Xét q=p ; cái này thì dễ rồi ...
Vì vậy nên mới có cách 2 ngắn hơn, chẳng qua mình đợi cmt của các bạn thôi
- Mr handsome ugly và DaiphongLT thích
#7
Đã gửi 05-04-2021 - 20:46
Câu 2: $2)$ (cách 2)
Cũng dễ thấy $q>p$ do đó $(q-p)^{2q-1} \vdots (q-p)^p$
$\Rightarrow (q+p)^p \vdots (q-p)^p$
$\Rightarrow (q+p) \vdots (q-p)$
$\Rightarrow 2q \vdots (q-p) $
Mà ta lại có $(q, q-p) = 1$ nên $2 \vdots (q-p)$
Suy ra $q-p = 2 \Rightarrow q=2+p$
Thay vào đề bài ta được $(2p+2)^p = 2^{2p+3}$
$\Rightarrow (p+1)^p=8.2^p$
Vì thế nên 8 phải là lũy thừa mũ $p$
$8=2^3 \Rightarrow p=3$.
$\Rightarrow q=5$
Vậy $(p,q)=(3;5)$
- Mr handsome ugly, ChiMiwhh và DaiphongLT thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh