Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] BẤT ĐẲNG THỨC

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 58 trả lời

#1 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 07-04-2021 - 11:54

Xin chào các bạn, mình là KietLW9, thực sự là mình mới tham gia diễn đàn được khoảng hơn 1 tháng và mình thấy rằng bất đẳng thức rất ít được quan tâm trong thời gian gần đây. Hôm nay, mình quyết định tạo một Topic về bất đẳng thức để các bạn cùng tham gia trả lời, thảo luận và có thêm nhiều kiến thức. Mình sẽ tổng hợp một số bài mà mình từng làm và mình cảm thấy hay nhất để đăng lên. Nếu có gì sai sót mong các bạn chỉ bảo. Cảm ơn các bạn đã ủng hộ TOPIC.

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\geqslant \frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3}$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca\geqslant 0 $ và $(a^2+ab)(b^2+bc)(c^2+ca)>0$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca})\leqslant 9$

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. Chứng ming rằng: $\sum \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 4(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Bài 4: Với các số thực dương a, b thay đổi. Chứng minh rằng: $(a+b)(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}})\leqslant 2\sqrt{2}$ (Chú ý: Bài 4 không được dùng tất cả các bất đẳng thức đã có như Cô-si, Cauchy-Schwarz, Cauchy-Schwarz dạng phân thức,...)

Bài 5:  Với a, b, c không âm. CMR: $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36\geqslant 6(a+b+c)+49(ab+bc+ca)$ 

Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab})\leqslant \frac{9}{4}$ 

Bài 7: Cho các số a, b, c thỏa mãn $0<a,b,c\leqslant 1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a+b}\geqslant \sum \frac{6}{11+a^3}$ 

Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{1}{4}(\sum_{cyc}\frac{1}{x})\geqslant \frac{15}{4}$

Do thời gian có hạn nên số bài sẽ ít nhưng lần sau mình sẽ làm tốt và nhiều bài chất lượng hơn. Tất nhiên là trong đây sẽ có một số bài khó và một số bài dễ, nếu các bạn yêu cầu mình sẽ post đáp án nhưng là phải sau 2 ngày khi TOPIC này được đăng. Riêng bài 7 thì mình vẫn chưa có lời giải nên mong các bạn cùng suy nghĩ với mình. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-04-2021 - 10:47

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 07-04-2021 - 18:10

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=\frac{3}{2}$. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\geqslant \frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3}$

Mình nghĩ $abc=\frac{2}{3}$ thì đúng hơn chứ nhỉ?

Ta có $\sum\frac{ab}{a+b}=\frac{2}{3}\sum\frac{1}{ac+bc}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$ nên ta chỉ cần chứng minh $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$.

Mặt khác dễ dàng có $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$ nên ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 07-04-2021 - 18:19


#3 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 07-04-2021 - 18:21

Mình nghĩ $abc=\frac{2}{3}$ thì đúng hơn chứ nhỉ?

Ta có $\sum\frac{ab}{a+b}=\frac{2}{3}\sum\frac{1}{ac+bc}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$ nên ta chỉ cần chứng minh $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$.

Mặt khác dễ dàng có $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$ nên ta có đpcm.

À ok ,mình đánh nhầm, đã fix, bạn làm đúng rồi :like


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học Huế

Đã gửi 07-04-2021 - 19:52

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. Chứng ming rằng: $\sum \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 4(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Ta có hàng đẳng thức quen thuộc $\sum \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Hay cần cm $\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 2(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Áp dụng bđt quen thuộc thì 

$\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}}+\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{\sqrt{c}}\geq \frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại là đpcm

P.s: Cho mk hỏi riêng bài 3 này thì bạn kiếm trong sách nào v??


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 07-04-2021 - 19:53


#5 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 07-04-2021 - 19:56

Ta có hàng đẳng thức quen thuộc $\sum \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Hay cần cm $\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 2(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Áp dụng bđt quen thuộc thì 

$\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}}+\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{\sqrt{c}}\geq \frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại là đpcm

P.s: Cho mk hỏi riêng bài 3 này thì bạn kiếm trong sách nào v??

Bài này mình không nhớ đã kiếm ở đâu hay nguồn gốc xuất xứ của nó. Nhưng mình đã từng làm và khi viết Topic thì mình hồi tưởng lại :lol: . Cảm ơn bạn đã tham gia Topic.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#6 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 07-04-2021 - 22:24

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca\geqslant 0 $. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca})\leqslant 9$

Phản ví dụ: a = 5; b = 7; c = -2.



#7 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 07-04-2021 - 22:40

Bài 7: Cho các số a, b, c thỏa mãn $0<a,b,c\leqslant 1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a+b}\geqslant \sum \frac{6}{11+a^3}$ 

Không biết có đúng không:

Ta có $\frac{6}{11+a^3}+\frac{1}{8}a-\frac{5}{8}=\frac{(a-1)^2(a^2-3a-7)}{8(a^3+11)}\leq 0\Rightarrow \frac{6}{11+a^3}\leq \frac{-1}{8}a+\frac{5}{8}$.

Tương tự với b, c rồi cộng vế với vế ta được $\sum\frac{6}{11+a^3}\leq \frac{-1}{8}(a+b+c)+\frac{15}{8}$. (1)

Ta thấy với $x\in(0;2]$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{16}x-\frac{5}{8}=\frac{(x-8)(x-2)}{16x}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{x}\geq \frac{-1}{16}x+\frac{5}{8}$.

Thay x bằng a + b, b + c, c + a rồi cộng vế với vế ta có $\sum\frac{1}{a+b}\geq \frac{-1}{8}(a+b+c)+\frac{15}{8}$. (2)

Từ (1), (2) có đpcm.



#8 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 07-04-2021 - 23:22

Bài 4: Với các số thực dương a, b thay đổi. Chứng minh rằng: $(a+b)(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}})\leqslant 2\sqrt{2}$ (Chú ý: Bài 4 không được dùng tất cả các bất đẳng thức đã có như Cô-si, Cauchy-Schwarz, Cauchy-Schwarz dạng phân thức,...)

Chuẩn hoá $a+b=2$. Ta có $\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}=\frac{1}{\sqrt{4a^2-10a+8}}$.

Ta chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{4a^2-10a+8}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}a+\frac{\sqrt{2}}{4}$. (*)

Thật vậy, $(*)\Leftrightarrow 2a(a-1)^2(2a+3)\leq 0$ (luôn đúng)

Tương tự, $\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}}=\frac{1}{\sqrt{4b^2-10b+8}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}b+\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Cộng vế với vế ta có đpcm.



#9 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 07-04-2021 - 23:34

Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{1}{4}(\sum_{cyc}\frac{1}{x})\geqslant \frac{15}{4}$

$BĐT\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\sum\frac{xy}{x^2+y^2}\geq \frac{15}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\sum(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)\geq \sum(\frac{1}{2}-\frac{xy}{x^2+y^2})$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(x-y)^2}{4xy}\geq\sum\frac{(x-y)^2}{2(x^2+y^2)}$.

Dễ thấy bđt trên luôn đúng. Ta có đpcm.



#10 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 08-04-2021 - 10:49

Phản ví dụ: a = 5; b = 7; c = -2.

Xin lỗi bạn về sự bất cẩn! Mình đã fix lại, bạn xem thử đúng không. Nếu sai nữa thì mình sẽ xóa câu đó! :mellow:


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#11 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 08-04-2021 - 11:19

Chuẩn hoá $a+b=2$. Ta có $\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}=\frac{1}{\sqrt{4a^2-10a+8}}$.

Ta chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{4a^2-10a+8}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}a+\frac{\sqrt{2}}{4}$. (*)

Thật vậy, $(*)\Leftrightarrow 2a(a-1)^2(2a+3)\leq 0$ (luôn đúng)

Tương tự, $\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}}=\frac{1}{\sqrt{4b^2-10b+8}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}b+\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Cộng vế với vế ta có đpcm.

Bạn làm đúng rồi nhưng mình mình có cách khác, không biết có ok ko? (Mình có dùng 1 lần Cauchy-Schwarz)

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được: $VT\leqslant (a+b)\sqrt{2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})}$ 

Ta cần chứng minh: $(a+b)\sqrt{2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})}\leqslant 2\sqrt{2}\Leftrightarrow 8\geqslant 2(a+b)^2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})\Leftrightarrow \frac{2(a-b)^2(5a^2-6ab+5b^2)}{(a^2-ab+2b^2)(2a^2-b+b^2)}\geqq 0$  /đúng*


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#12 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 08-04-2021 - 12:11

$BĐT\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\sum\frac{xy}{x^2+y^2}\geq \frac{15}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\sum(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)\geq \sum(\frac{1}{2}-\frac{xy}{x^2+y^2})$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(x-y)^2}{4xy}\geq\sum\frac{(x-y)^2}{2(x^2+y^2)}$.

Dễ thấy bđt trên luôn đúng. Ta có đpcm.

Còn bài này có thể thay x + y + z = 1 vào $\frac{1}{4}$ rồi tách ghép dùng Cô-si


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#13 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 08-04-2021 - 12:54

Bài 7: Cho các số a, b, c thỏa mãn $0<a,b,c\leqslant 1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a+b}\geqslant \sum \frac{6}{11+a^3}$ 

 

Bài này dễ thôi:

Ta có $\sum \frac{6}{11+a^3} =\sum \frac{6}{9+(1+1+a^3)} \leq \sum \frac{6}{9+3a}$ (AM-GM)

$=\sum \frac{2}{3+a} \leq \sum \frac{2}{2b+a+a}$ (do $a,b,c \leq 1$)

$= \sum \frac{1}{a+b}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 08-04-2021 - 12:55


#14 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 08-04-2021 - 15:56

Tiếp tục nào

Bài 9: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $(a + b)(b+c)(c+a)>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\sum_{cyc}\sqrt{\frac{b^2-bc+c^2}{a^2+bc}}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$

Bài 10: Cho a, b, c không âm và $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của: $P=\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}$

Bài 11: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{a(b+c)}{a^2+bc}\geqslant 1+\frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ 

Xin lỗi vì sự bất cẩn trong các bài toán trên bởi em mới là một học sinh lớp 8, chưa có nhiều kinh nghiệm trong lĩnh vực này nên thiếu sót là điều không tránh khỏi. Mong lần này sẽ không có sai sót.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-04-2021 - 15:59

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#15 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 08-04-2021 - 20:49

Bài 10: Cho a, b, c không âm và $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của: $P=\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}$

Ta chứng minh $P\leq 1$ (1).  Thật vậy bằng biến đổi tương đương ta có $(1)\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq 2$.

Giả sử c = mid{a, b, c}. Khi đó $b(c-a)(c-b)\leq 0$ nên $ab^2+bc^2\leq abc+b^2c$.

Từ đó $ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq ca^2+b^2c=c(3-c^2)=2-(c-1)^2(c+2)\leq 2$.

Vậy ta có đpcm.



#16 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 09-04-2021 - 20:30

Tiếp tục quá trình tổng hợp BĐT :D

Bài 12: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{5a+1}+\frac{b^2}{5b+1}+\frac{c^2}{5c+1}\leqslant \frac{1}{8\sqrt{3(ab+bc+ca)}}$ 

Bài 13: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx+xyz=4$. Chứng minh rằng: $\frac{x+y+z}{xy+yz+zx}\leqslant1+ \frac{1}{48}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]$ 

Bài 14: Cho $a,b,c\geqslant0$ thỏa mãn $a+b+c\geqslant max({\frac{ab}{c},\frac{bc}{a},\frac{ca}{b}})$. Chứng minh: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{(14+10\sqrt{2})abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geqslant 2\sqrt{2}+1$ 

Bài 15: Cho các số $a,b,c\geqslant0$. Chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{1}{a^2+bc}\geqslant \frac{12}{(a+b+c)^2}$ 

Bài 16: Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{4a+4b+c}}\leqslant 1$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-04-2021 - 20:32

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#17 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 10-04-2021 - 13:38

Các bài bất đẳng thức trên theo mình thực sự rất khó, nếu chưa từng làm qua thì có lẽ sẽ không thể làm được, vì vậy để tránh tình trạng đóng Topic quá sớm, mình sẽ ra thêm một vài bài theo cùng một chủ đề để các bạn dễ định hướng, còn những bài trên thì ai cần sol mình sẽ gửi để nâng cao cái nhìn về sự đa dạng của bất đẳng thức

$\boxed{1}$Bất đẳng thức Schur kết hợp phương pháp đổi biến $p,q,r$

Bài 17: Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+abc\geqslant 10$ 

Bài 18: Tìm hằng số k tốt nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$; $a^2+b^2+c^2+kabc\geqslant k+3$

Bài 19: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{1}{a+b}\geqslant \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)}+\frac{3}{a+b+c}$ 

Bài 20: Cho $a,b,c\geqslant 0$ . Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{a}{b+c}+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geqslant 2$ 

Bài 21: Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $4(ab+bc+ca)+\sum_{cyc}\frac{a^2b^2}{a+b}\leqslant \frac{27}{2}$ 

Bài 22: Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca+6abc=9$. Tìm hằng số $k$ tốt nhất sao cho $a+b+c+kabc\geqslant k+3$ đúng

Bài 23: Chứng minh với các số thực không âm $a,b,c$ ta có: $(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca)\geqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ 

Bài 24: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\geqslant 12(x^3+y^3+z^3)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) $

Bài 25: Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geqslant 1$ 

Bài 26: Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 6$ 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#18 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 10-04-2021 - 15:19

Bài 17: Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+abc\geqslant 10$ 

Bất đẳng thức này không chặt lắm nên chắc chưa cần dùng đến pqr:

Ta có $3(a^2+b^2+c^2)+abc=3(a^2+b^2+c^2)+4-(ab+bc+ca)\geq 2(a^2+b^2+c^2)+4\geq 2.3+4=10$.



#19 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 10-04-2021 - 15:24

Bài 18: Tìm hằng số k tốt nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$; $a^2+b^2+c^2+kabc\geqslant k+3$

Với a = 0; b = c = 2 ta có $5\geq k$.

Với $k=5$ ta có bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2+5abc\geq 8$. Bất đẳng thức này đã có lời giải ở Marathon: (Mình lấy lời giải của anh 12DecMath).

post-182488-0-13015600-1618020909.png

Vậy hằng số k tốt nhất là 5.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 10-04-2021 - 15:24


#20 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 11-04-2021 - 11:31

$\boxed{2}$ Kỹ thuật sử dụng dạng cộng mẫu số Engle của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bài 27: Cho $a,b,c,p,q>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geqslant \frac{3}{p+q}$

Bài 28: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geqslant \frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$ 

Bài 29: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geqslant (abc)^2$. Chứng minh:$\sum_{cyc}\frac{(ab)^2}{(a^2+b^2)c^3}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$ 

Bài 30: Chứng minh rằng nếu $a,b,c\geqslant 0$ thì $\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b^2+\frac{1}{4}bc+c^2}}\geqslant 2$ 

Bài 31: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2abc}}$ 

Bài 32: Cho $a,b,c\geqslant 0$. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{a^2-bc}{a+b}\geqslant 0$ 

Bài 33: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng ming rằng: $\sum_{cyc}\frac{a}{3a-b+c}\geqslant 1$ 

Bài 34: Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{1}{1-(\frac{a+b}{2})^2}\leqslant \frac{9}{2}$  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 11-04-2021 - 11:32

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh