Xin chào các bạn, mình là KietLW9, thực sự là mình mới tham gia diễn đàn được khoảng hơn 1 tháng và mình thấy rằng bất đẳng thức rất ít được quan tâm trong thời gian gần đây. Hôm nay, mình quyết định tạo một Topic về bất đẳng thức để các bạn cùng tham gia trả lời, thảo luận và có thêm nhiều kiến thức. Mình sẽ tổng hợp một số bài mà mình từng làm và mình cảm thấy hay nhất để đăng lên. Nếu có gì sai sót mong các bạn chỉ bảo. Cảm ơn các bạn đã ủng hộ TOPIC.
Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\geqslant \frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3}$
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca\geqslant 0 $ và $(a^2+ab)(b^2+bc)(c^2+ca)>0$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca})\leqslant 9$
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. Chứng ming rằng: $\sum \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 4(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$
Bài 4: Với các số thực dương a, b thay đổi. Chứng minh rằng: $(a+b)(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}})\leqslant 2\sqrt{2}$ (Chú ý: Bài 4 không được dùng tất cả các bất đẳng thức đã có như Cô-si, Cauchy-Schwarz, Cauchy-Schwarz dạng phân thức,...)
Bài 5: Với a, b, c không âm. CMR: $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36\geqslant 6(a+b+c)+49(ab+bc+ca)$
Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab})\leqslant \frac{9}{4}$
Bài 7: Cho các số a, b, c thỏa mãn $0<a,b,c\leqslant 1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a+b}\geqslant \sum \frac{6}{11+a^3}$
Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{1}{4}(\sum_{cyc}\frac{1}{x})\geqslant \frac{15}{4}$
Do thời gian có hạn nên số bài sẽ ít nhưng lần sau mình sẽ làm tốt và nhiều bài chất lượng hơn. Tất nhiên là trong đây sẽ có một số bài khó và một số bài dễ, nếu các bạn yêu cầu mình sẽ post đáp án nhưng là phải sau 2 ngày khi TOPIC này được đăng. Riêng bài 7 thì mình vẫn chưa có lời giải nên mong các bạn cùng suy nghĩ với mình.
Em tìm đọc cuốn "Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học'' của tác giả Trần Phương hay lắm nhé