cho a,b,c là các số dương thõa mãn
$a^2+b^2+c^2=3$
chứng minh :
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\leq \sqrt{3}$
cho a,b,c là các số dương thõa mãn
$a^2+b^2+c^2=3$
chứng minh :
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\leq \sqrt{3}$
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được: $\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}\geqslant a+b+c\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leqslant \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
Tương tự rồi cộng lại, ta có: $VT\leqslant \sum_{cyc}\frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}= \sum_{cyc}\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}\sqrt{3.(1+b+c)}}{a+b+c}\leqslant \sum_{cyc}\frac{a(4+b+c)}{2\sqrt{3}(a+b+c)}=\frac{4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}{2\sqrt{3}(a+b+c)}\leqslant\frac{4(a+b+c)+2.\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2\sqrt{3}(a+b+c)}=\frac{4+\frac{2}{3}(a+b+c)}{2\sqrt{3}}\leqslant \frac{4+\frac{2}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ (Cô-si)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh