Chiều thuận:
Gọi tiếp điểm của đường tròn ($I$) trên $AC$, $AB$ lần lượt là $P,Q$. $AD$ cắt đường tròn ($I$) tại điểm thứ $2$ và $PQ$ lần lượt tại $L$ và $J$
Ta có tính chất cơ bản: $LPDQ$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow BC$, tiếp tuyến tại $L$ của đường tròn ($I$) và $PQ$ đồng quy tại $1$ điểm $S \Rightarrow SI\perp AD$. Mà $OI\perp AD \Rightarrow \overline{S,I,O}$
$SI$ cắt $AD$ tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm của $BC \Rightarrow OK\perp BC$. Ta có $4$ điểm $H,O,D,K$ đồng viên $\Rightarrow \overline{SH}.\overline{SO}=\overline{SD}.\overline{SK}$ ($1$)
Mặt khác ta có: ($SJ,QP$) $=-1$. Chiếu xuyên tâm $A$ ta thu được ($SD,BC$) $=-1 \Rightarrow \overline{SB}.\overline{SC}=\overline{SD}.\overline{SK}$ (hệ thức Maclaurin) ($2$)
Từ ($1$) và ($2$) suy ra $\overline{SH}.\overline{SO}=\overline{SB}.\overline{SC} \Rightarrow 4$ điểm $H,O,B,C$ đồng viên
Xét trục đẳng phương của $3$ đường tròn $\left(O;\frac{OA}{2}\right)$, ($BHOC$), ($O$) lần lượt là $OH$, $BC$ và tiếp tuyến tại $A$ của ($O$) đồng quy tại $1$ điểm $\Rightarrow SA$ là tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ($O$)
Mà ($SD,BC$) $=-1 \Rightarrow AD$ là đường đối trung của $\Delta ABC$
$4$ điểm $A,C,D,F$ đồng viên và $BM$ là đường trung tuyến của $\Delta BDF \Rightarrow BM$ là đường đối trung của $\Delta ABC$
Tương tự ta có $CN$ là đường đối trung của $\Delta ABC$
Do đó $AD$, $BM$, $CN$ đồng quy tại điểm Lemoine của $\Delta ABC$
Chiều ngược làm ngược lại là xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 03-07-2021 - 23:26