Chủ đề này có 1 trả lời

[tinhyeutoanhoc2k7]

cho x và y là 2 số thực thoả mãn $(x^2 +y^2-1)^2+x^2-5y^2+11=0$ . Tìm max $x^2+y^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-04-2021 - 14:57

[Dark Repulsor]

Đặt $m=x^{2}$, $n=y^{2}-4$ ($m\geq 0$, $n\geq -4$). Thay vào gt:

$(m+n+3)^{2}+m-5(n+4)+11=0 \Leftrightarrow (m+n)^{2}+6(m+n)+m-5n=0 \Leftrightarrow (m+n)^{2}+m+n=-6m \Leftrightarrow (m+n)(m+n+1)=-6m$

$m\geq 0 \Rightarrow (m+n)(m+n+1)\leq 0 \Rightarrow -1\leq m+n\leq 0$

$P=x^{2}+y^{2}=m+n+4 \Rightarrow 3\leq P\leq 4$

Kết luận:

Min $P=3$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=0 \\ m+n=-1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=\pm \sqrt{3} \end{matrix}\right.$

Max $P=4$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=0 \\ m+n=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=\pm 2 \end{matrix}\right.$

 

P/s: Ta có thể chứng minh ĐTHS $f(x,y)=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+x^{2}-5y^{2}+11=0$ là $2$ đường elip đối xứng nhau qua gốc tọa độ (do với mỗi giá trị $x$ sẽ có $2$ giá trị $y$ thỏa mãn và ngược lại). Elip nằm phía trên trục $Ox$ có tâm $I_{1}\left(0;\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$, bán trục lớn $a=\frac{\sqrt{-5-4\sqrt{3}+2\sqrt{-5+24\sqrt{3}}}}{2}$, bán trục bé $b=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$, bán tiêu cự $c=\sqrt{-3+\frac{\sqrt{-5+24\sqrt{3}}}{2}}$