Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG Toán THPT tỉnh An Giang 2020-2021 vồng 1

hsg

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
vttPapyrus

vttPapyrus

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty)$ đồng thời thỏa mãn

 \[f(x+y)=f(x)f(y) \text{ và } f(1)=\dfrac{1}{2}.\]
  1. Tính $f(0)$; $f(2)$ và $f(3)$.
  2. Đặt $S_n=f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$ với $n\in \mathbb{N}$. Tính $\lim\limits_{n\to +\infty} S_n$.
Câu 2. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hệ phương trình sau đây có đúng một nghiệm
 \[\left\{\begin{aligned}&x^3=y^2+7x^2-mx \\&y^3=x^2+7y^2-my\end{aligned}\right.\,(x,y\in \mathbb{R}).\]
Câu 3. Một mẫu vé vào cửa có số sê-ri gồm $5$ chữ số từ $00000$ đến $99999$. Khi vào cửa khách hàng được khuyến mãi một thức uống miễn phí nếu vé đó có hai chữ số liền kề trong $5$ chữ số có hiệu bằng $5$ (ví dụ $01\underline{38}4$). Hỏi có bao nhiêu vé có số sê-ri mang đặc điểm này?
Câu 4.  Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều $ABC.A'B'C'$ cạnh đáy bằng $a$. Lấy điểm $B_1$ thuộc $BB'$, điểm $C_1$ thuộc $CC'$. Đặt $BB_1=x$; $CC_1=y.$
  1. Chứng minh rằng tam giác $AB_1C_1$ vuông tại $B_1$ khi $2xy=2x^2+a^2$.
  2. Giả sử tam giác $AB_1C_1$ là tam giác thường và $B_1$ là trung điểm của $BB'$ và $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AB_1C_1)$, cho $y=2x$. Tính diện tích tam giác $AB_1C_1$ và độ dài cạnh bên của lăng trụ đã cho theo $a$ và $\alpha$.

Câu 5. Cho $a^2+b^2+C^2=4$, $x\in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=a+b\sqrt{2}\sin x+c\sin 2x$.

Câu 6. Có $2025$ đồng xu hai mặt (mặt sấp và mặt ngửa) được đánh số thứ tự từ $1$ đến $2025$, tất cả đều để ngửa. Thực hiện các thao tác sau:

  Lần 1: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $1$.
  Lần 2: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $2$.
  Lần 3: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $3$.
  $\ldots\ldots\ldots$
  Lần 2025: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $2025$.
 Hỏi có bao nhiêu đồng xu ngửa sau lần lật thứ $2021$?


#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

 

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty)$ đồng thời thỏa mãn

 \[f(x+y)=f(x)f(y) \text{ và } f(1)=\dfrac{1}{2}.\]
  1. Tính $f(0)$; $f(2)$ và $f(3)$.
  2. Đặt $S_n=f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$ với $n\in \mathbb{N}$. Tính $\lim\limits_{n\to +\infty} S_n$.
Câu 2. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hệ phương trình sau đây có đúng một nghiệm
 \[\left\{\begin{aligned}&x^3=y^2+7x^2-mx \\&y^3=x^2+7y^2-my\end{aligned}\right.\,(x,y\in \mathbb{R}).\]
Câu 3. Một mẫu vé vào cửa có số sê-ri gồm $5$ chữ số từ $00000$ đến $99999$. Khi vào cửa khách hàng được khuyến mãi một thức uống miễn phí nếu vé đó có hai chữ số liền kề trong $5$ chữ số có hiệu bằng $5$ (ví dụ $01\underline{38}4$). Hỏi có bao nhiêu vé có số sê-ri mang đặc điểm này?
Câu 4.  Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều $ABC.A'B'C'$ cạnh đáy bằng $a$. Lấy điểm $B_1$ thuộc $BB'$, điểm $C_1$ thuộc $CC'$. Đặt $BB_1=x$; $CC_1=y.$
  1. Chứng minh rằng tam giác $AB_1C_1$ vuông tại $B_1$ khi $2xy=2x^2+a^2$.
  2. Giả sử tam giác $AB_1C_1$ là tam giác thường và $B_1$ là trung điểm của $BB'$ và $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AB_1C_1)$, cho $y=2x$. Tính diện tích tam giác $AB_1C_1$ và độ dài cạnh bên của lăng trụ đã cho theo $a$ và $\alpha$.

Câu 5. Cho $a^2+b^2+C^2=4$, $x\in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=a+b\sqrt{2}\sin x+c\sin 2x$.

Câu 6. Có $2025$ đồng xu hai mặt (mặt sấp và mặt ngửa) được đánh số thứ tự từ $1$ đến $2025$, tất cả đều để ngửa. Thực hiện các thao tác sau:

  Lần 1: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $1$.
  Lần 2: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $2$.
  Lần 3: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $3$.
  $\ldots\ldots\ldots$
  Lần 2025: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $2025$.
 Hỏi có bao nhiêu đồng xu ngửa sau lần lật thứ $2021$?

 

Câu 3:

Số vé phát hành: $10^{5}$

Số vè không có khuyến mãi nước uống:

$10\cdot9^{4}$

Số vé có khuyến mãi là:

$10^{5}-10\cdot9^{4}=\boxed { 34390 }$

 

Câu 6:

Nhận xét:

1/  Tại  lần lật thứ $i$, những đồng xu có số thừ tự là bội của $i$ sẽ được lật. Để đồng xu là ngửa như lúc ban đầu thì $i$ phải là số chẵn, điều này có nghĩa là số thứ tự của đồng xu phải có số các ước là số chẵn.

2/  Trong tập số tự nhiên, số các ước của số chính phương là số lẻ.

Trở lại bài toán, giả sử ta lật 2025 lần, mà 2025 là số chính phương $45^{2}=2025$. Do đó số đồng xu ngửa là:

$2025-45=1980$

Nhưng ta chỉ xét đến lần lật thứ 2021 nên các đồng xu thứ 2022, 2023, 2024 sẽ sấp và đồng xu thứ 2025 là ngửa. Như vậy, sau 2021 lần lật thì số đồng xu ngửa là:

$1980-3+1=\boxed {1978}$

 

 

 

 

 

 


===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hsg

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh