Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 8 Bình chọn

Học gì ở Toán phổ thông


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 60 trả lời

#1 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-04-2021 - 22:14

Trước đây ông thầy người Pháp hướng dẫn mình có chê toán olympic của Việt Nam không phải khoa học. Điều này có lẽ không phải bàn cãi, tức là toán phổ thông Việt Nam cũng nổi tiếng ở một nước tiên tiến về toán, theo nghĩa tiêu cực.

Nhưng cần suy nghĩ điều này thấu đáo vì hiện giờ ở Việt Nam, toán olympic là loại toán hấp dẫn với học sinh phổ thông, nếu không dùng nó thì cái gì để thu hút các em làm toán học hoặc khoa học? Mặc dù nó không hiệu quả, ai học chuyên là rõ nhất. Để nhiều bằng chứng hơn, hãy so với Pháp: phong trào olympic nghèo nàn, đi thi imo thì lúc nào cũng xếp sau Việt Nam, nhưng số lượng sinh viên đăng ký học toán gấp nhiều lần so với Việt Nam, cả lý thuyết và ứng dụng. Ở đây mình không bàn về chất lượng, chỉ tập trung vào số lượng. Vì vậy, mình mở ra post này, để anh em trên diễn đàn có thể lạm bàn. Mình xin tóm tắt lại một số vấn đề, cũng như đưa ra một số câu hỏi (tất nhiên không giới hạn việc thảo luận trong những vấn đề này):

1) Toán olympic ngày càng chứng tỏ không giúp ích nhiều cho khoa học và toán học (ở đây không bàn chuyện toán olympic có giúp tìm ra nhân tài);

2) Tạm bỏ qua (không có nghĩa bỏ hẳn) các yếu tố liên quan đến văn hóa, kinh tế để bàn về toán ở phổ thông hay nghiên cứu, nếu không muốn việc thảo luận trở nên phức tạp hơn.

Đặt câu hỏi: vậy nên học toán gì ở phổ thông nhằm thu hút các em làm khoa học và toán học? Một gợi ý là tham khảo chương trình toán phổ thông ở các nước khác. Nhưng khoan hãy nói toán phổ thông ở Pháp có ích cho khoa học hơn hay không, việc mình thấy thích hơn là chúng ta tự thảo luận. Mặt khác, không hy vọng thay đổi bộ mặt giáo dục nước nhà được vì diễn đàn không phải bộ giáo dục, nên những thứ thay đổi được trước mắt chỉ có thể làm được trên diễn đàn. Nhưng, sân chơi mà diễn đàn đã tạo ra thì không hề nhỏ, nên nếu có hướng đi đúng thì diễn đàn có thể tạo ra đóng góp lớn, giống như đã làm cách đây khoảng 20 năm với bất đẳng thức ở Việt Nam. Mình cũng xin nêu một số ý kiến:

1. Nhắc lại rằng không phải cái gì trong toán olympic cũng không có ích, vấn đề chỉ là làm quá nhiều sẽ trở nên vô nghĩa. Nên nhớ rằng chỉ có vài người cần thi thố, và càng ít hơn nhiều người được fame cao nhất, nên không thể để tất cả mọi người đều không thu được gì hết. Như vậy, những kỹ năng cơ bản của toán olympic gồm có hình học phẳng, số học chỉ cần đến hết lớp 9 là đủ. Nhưng toán rời rạc cũng như phương trình hàm thì phức tạp hơn (mình không rõ còn thiếu thứ gì trong toán olympic không?);

2. Phương trình hàm trong toán olympic hiện nay khiến cho nó trở thành kỹ năng vô dụng nhất. Nguyên nhân là vì bài toán thường bắt giải một phương trình hàm rất phức tạp rối rắm, nhưng nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc. Từ góc độ khoa học, ta đang cố mô tả một sự kiện đơn giản bởi một phương trình hết sức phức tạp, làm như vậy là phản khoa học. Chẳng hạn, chỉ có duy nhất hàm số thực 0 thỏa mãn $f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2$. Có ai lại đi dùng phương trình hàm này để mô tả số 0? Một tình huống phương trình hàm có ích là khi ta không thể mô tả được một đối tượng một cách chính xác, nhưng nhờ phương trình hàm, ta vẫn thu được thông tin hữu ích của đối tượng đó, chứ không phải đi tìm hết các nghiệm của một phương trình hàm. Chẳng hạn, một dạng modular cần thoả mãn một phương trình hàm xác định, hay phương trình giữa các degeneracy maps (ánh xạ thoái hóa?) giúp ta xác định một vật nửa đơn hình. Mình chưa nghĩ ra tình huống nào có ích ở phổ thông, có lẽ cần tới đâu thì học tới đó chứ không nhất thiết phải tách ra để học. Còn nếu cố học thì phải theo hướng khác mới gần với khoa học chứ không phải là bài toán tìm hết các nghiệm;

3. Không cần bàn nhiều về Toán rời rạc/tổ hợp olympic vì nó không cách xa so với nghiên cứu. Nhưng cần bổ sung thêm phương pháp xác suất;

4. Nói thêm về bất đẳng thức, người ta sử dụng chúng để thu được thêm thông tin về một đối tượng toán học, ví dụ như một phiên bản của bất đẳng thức Harnack được sử dụng trong chứng minh giả thuyết Poincaré, hoặc nguyên lý mô đun cực đại giúp chứng minh một hàm là hằng. Như vậy, nói nôm na bất đẳng thức quan trọng là vì những chuyện bên ngoài chứ không chỉ kết thúc ở việc chứng minh. Những bất đẳng thức trong toán olympic hầu hết chỉ liên quan đến đối xứng/không đối xứng, sử dụng biến đổi đại số, không có các yếu tố hình học hay số học. Khi có các yếu tố này thì phương pháp chứng minh hoàn toàn khác, những kỹ năng biến đổi đó trở thành vô ích;

5. Mình nhận thấy từ rất lâu rồi nhiều mục diễn đàn không cập nhật phương pháp mới hay tài liệu mới. Bản thân mình ngại viết vì lười. Có nên chăng diễn đàn yêu cầu các điều hành viên thường xuyên tìm trong các post các lời giải nào có phương pháp thì tổng hợp lại, copy các lời giải này làm ví dụ cho phương pháp. Việc tổng hợp thường xuyên sẽ tạo ra tài liệu tốt cho thành viên mới và chất lượng của chúng là nguyên nhân lớn để thu hút thành viên mới. Mình đề xuất thêm nữa là tất cả bài trong mục tài liệu, phương pháp nên được tổng hợp lại và đăng lên trong một post và chỉnh sửa cập nhật post này thường xuyên, sắp xếp một cách hợp lý để cho dễ đọc. Khi đọc một cách tuyến tính như đọc sách sẽ tiếp thu nhanh hơn. Lấy ví dụ như stackproject. Trang này không viết quá nhiều thứ mới trong hình đại số, nhưng nhờ tổng hợp và viết lại các tài liệu mà giờ rất nhiều người sử dụng trang này để học và nghiên cứu;

6. Giả sử chúng ta đã biết nên học gì ở phổ thông thì làm sao định hướng các em trên diễn đàn học và quan tâm những vấn đề đó? Cái này thì mình chưa suy nghĩ kỹ.

Mình cảm thấy nhiều tạp chí như pi, epsilon khiến cho việc quan tâm tới toán học nghiên cứu ngày càng lớn hơn, mình hi vọng diễn đàn có thể bắt kịp xu thế này. Lợi thế của diễn đàn là có rất nhiều người đang làm toán nghiêm túc. Về kiến thức thì chúng ta không thiếu, nhưng cần suy nghĩ nghiêm túc để phát huy sức mạnh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 11-04-2021 - 22:27


#2 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 12-04-2021 - 13:05

Em xin được nêu ý kiến của em sau đây:

Về câu hỏi làm sao để thu hút học sinh làm toán và khoa học thì em nghĩ tốt nhất vẫn là những bài viết về lịch sử toán học hoặc các bài giảng đại chúng của toán học; bản thân em đến với toán học là nhờ cuốn "định lý cuối cùng của fermat" do TS Lê Quang Ánh viết. 

 

Còn việc làm toán olympic bản thân em đôi khi cũng rất ghét các bài thi HSG; nhiều bài trong số đó khá là mưu mẹo điển hình là dãy số hay bước nhảy vi-et trong số học. Em thắc mắc tại sao tại lại không cho các em học sinh những bài toán lý thuyết cổ điển trong toán học như việc học cuốn "lý thuyết sơ cấp của các số" của Sierpinski



#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 12-04-2021 - 13:33

1) Toán olympic ngày càng chứng tỏ không giúp ích nhiều cho khoa học và toán học (ở đây không bàn chuyện toán olympic có giúp tìm ra nhân tài);

2) Tạm bỏ qua (không có nghĩa bỏ hẳn) các yếu tố liên quan đến văn hóa, kinh tế để bàn về toán ở phổ thông hay nghiên cứu, nếu không muốn việc thảo luận trở nên phức tạp hơn.

Đặt câu hỏi: vậy nên học toán gì ở phổ thông nhằm thu hút các em làm khoa học và toán học? Một gợi ý là tham khảo chương trình toán phổ thông ở các nước khác. Nhưng khoan hãy nói toán phổ thông ở Pháp có ích cho khoa học hơn hay không, việc mình thấy thích hơn là chúng ta tự thảo luận. Mặt khác, không hy vọng thay đổi bộ mặt giáo dục nước nhà được vì diễn đàn không phải bộ giáo dục, nên những thứ thay đổi được trước mắt chỉ có thể làm được trên diễn đàn. Nhưng, sân chơi mà diễn đàn đã tạo ra thì không hề nhỏ, nên nếu có hướng đi đúng thì diễn đàn có thể tạo ra đóng góp lớn, giống như đã làm cách đây khoảng 20 năm với bất đẳng thức ở Việt Nam.

Xã hội thì cũng không cần quá nhiều người làm toán nên từ phong trào này mà chắt lọc ra vài bạn đi học Toán cũng là quý rồi; nhưng mà cách tư duy ở Toán phổ thông thì đúng là đôi khi lại thấm đậm vào các bạn học nó quá sâu đến nỗi ngạc nhiên với Toán cao cấp (dù không cao cấp lắm!). Diễn đàn hay thay đổi bộ mặt qua từng thời kỳ như sóng vậy, tùy vào từng lứa.

 

Sự phản khoa học của Toán phổ thông thì không cần bàn trong đa số các bài Toán vì nó mang tính chất luyện gà; nói thêm một chút nữa lại có mấy ông xù lông lên ngay. Như anh Bách đã nói, có một số kiến thức số học khá có ích mà mình đã liệt kê dưới đây, nhưng mình cũng phải bổ sung thêm rằng một vấn đề ở phổ thông là chương trình đôi khi dạy không theo một hệ thống quy chuẩn nào mà thường bẻ nhỏ thành các chuyên đề nhưng bản thân những chuyên đề này hoặc là một thứ cực kì vô nghĩa không thì cũng là diễn giải lại một kiến thức cao hơn; như vậy có chăng điều thứ hai đáng được bàn tới hơn mà một ví dụ điển hình ở đây là số học như anh Nxb đã nói. Bản thân mình thi thoảng cũng cần dùng các kiến thức số học trong một ngành không liên quan gì đến lý thuyết số lắm, ví dụ như:

 

1. Ví dụ đầu tiên là luật thuận nghịch bình phươngđịnh lý cấp số cộng Dirichlet: lấy ví dụ nếu $\mathbb{HP}^{\infty}$ là không gian xạ ảnh quaternion và $f: \mathbb{HP}^{\infty} \to \mathbb{HP}^{\infty}$ là một ánh xạ liên tục thì nó cảm sinh một đồng cấu

$$f^*: H^{4}(\mathbb{HP}^{\infty},\mathbb{Z}_p) \to H^4(\mathbb{HP}^{\infty},\mathbb{Z}_p),$$

ở đây $p$ là một số nguyên tố lẻ; đồng cấu này gửi phần tử sinh $\gamma$ của $H^4 \cong \mathbb{Z}_p$ sang $d\gamma$ và $d$ gọi là bậc của $f$. Câu chuyện khá thú vị ở đây là $d$ chỉ có thể là bình phương một số nguyên vì sau khi áp dụng toán tử Steenrod $P^1$ ta thu được $P^1(\gamma) = 2\gamma{(p+1)/2}$, tính theo hai cách cho ta

$$P^1 f^*(\gamma) = f^*P^1(\gamma) = f^*(2\gamma^{(p+1)/2}) = 2d^{(p+1)/2}\gamma^{(p+1)/2}, \ \ P^1f^*(\gamma) = P^1(d\gamma) = 2d\gamma^{(p+1)/2},$$

như vậy ta kết luận được $d^{(p-1)/2} \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p)$ với mọi $p$ nguyên tố lẻ. Đến đây ta phải dùng luật thuận nghịch bình phương Gauss và định lý cấp số cộng Dirichlet mới chứng minh được $d$ luôn là bình phương một số nguyên, tiến thêm chút nữa bằng định lý Lefschetz ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục như vậy đều có điểm cố định.

 

2. Tiếp theo là định lý Lucas: ngay trong bản thân quá trình tính toán các toán tử Steenrod ta cũng phải thường xuyên dùng định lý Lucas. Thậm chí ngay gần đây khi mình làm thesis cũng có một lần dùng cái này sau khi tính toán ra một họ cấu xạ $f_i = \binom{n}{i} \mathrm{id}$ thì phải tìm ước chung của $\binom{n}{i}$ với $i < n$. Đây là một ứng dụng hay của định lý Lucas, hình như từng xuất hiện trong các đề thi olympic.

 

3. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, ví dụ nếu dùng K-lý thuyết tô-pô để giải bài toán bất biến Hopf một (Hopf invariant 1 problem) ta thu về một bài toán số học rất sơ cấp: tìm $n$ mà $2^n \mid 3^n - 1$; đây là một bài toán quá dễ với các bạn học sinh THPT sau khi áp dụng nhẹ nhàng định lý LTE:

 

Despite chiefly featuring in mathematical olympiads, it is sometimes applied to research topics, such as elliptic curves.

 

4. Các phương pháp đếm, tổ hợp là cần thiết, dĩ nhiên mình đồng ý là cần nhiều xác suất hơn nhưng bản thân trải nghiệm cá nhân mình làm project (vẫn là tô-pô đại số) thì đã phải dùng phương pháp đếm hai cách đôi ba lần.

 

Trên đây đều là những tư duy cần thiết, dù rằng nếu mình chưa từng học qua mấy cái này thì lúc làm mình vẫn hiểu thôi nhưng sẽ tốn thời gian tìm hiểu hơn (dù gì mình không học number theory). Trau dồi một chút đại số tuyến tính hay tổ hợp hoặc số học là các bạn có thể đọc được rất nhiều thứ hay, kể cả đường cong elliptic. Thế nên có người từng đùa rằng "thứ các nhà toán học hiểu rõ nhất là đại số tuyến tính và tổ hợp nên hầu hết mọi nỗ lực làm toán là để quy về hai thứ này." Tuy nhiên vẫn phải nhắc lại đại số tuyến tính, ví dụ, là một môn học cơ bản nhưng có hệ thống trình bày lý thuyết nên rất nhiều bạn đã vấp phải bức tường ngắn cách hai phương pháp tư duy tại đây (đây là quan sát cá nhân của mình).

 

Về phần diễn đàn mình vẫn tin rằng phải theo lứa nên sẽ không bàn luận thêm. Mình mong có một ngày mục toán hiện đại của diễn đàn sẽ sôi nổi hơn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-04-2021 - 13:44

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 12-04-2021 - 14:25

Bản thân em hồi cấp 3 cũng từng đi luyện thi các cấp rồi đi thi VMO. Bây giờ thì em có một may mắn là đang làm luận án tiến sĩ trong mảng Combinatorial Operational Research, gần với Computer Science hơn là toán căn bản.

Khi nhìn lại thì em thấy quả thật hồi cấp 3 không luyện về mảng toán tổ hợp rời rạc nhiều hơn, bởi vì phần lớn những gì em làm, ngoài các công việc của tin học, là tìm những tính chất đặc biệt của những đại lượng hay phần tử rời rạc.

Ví dụ đơn giản như sau:

Một nhà máy nhận $n$ đơn hàng, mỗi đơn hàng $i$ có một khối lượng công việc cho trước $p_i$ và một hạn chót hoàn thành (deadline) là $d_i$. Vậy phải thực hiện các công việc theo thứ tự nào để đảm bảo có ít công việc trễ hẹn nhất?

Ai loay hoay một hồi sẽ thấy cách giải tối ưu chính là thực hiện công việc theo thứ tự tăng dần của hạn chót. Tương tự với việc khi học thi, chúng ta chọn ôn bài cho những bài thi nào trước mắt hơn là những bài sau đó. Từ một trực giác (intuition), ta cần tìm một chứng minh chặt chẽ nữa là xong :D

Qua ví dụ này, có thể thấy kỹ năng đúc kết tính chấtchuyển đổi tương đương là cực kỳ quan trọng, không chỉ trong mảng COR này mà còn các mảng khác, như Bằng đã nói bên trên.

 

Nhìn chung, theo kinh nghiệm em và những người bạn và đàn em của em, toán Olympic VN hiện tại còn sa đà trong kỹ thuật và bỏ qua chuyện luyện cho học sinh khả năng nhìn đa chiều và suy luận. Khắc phục cái này thì cần công sức dài hơi không chỉ ở các giáo viên mà còn ở các bậc lãnh đạo.

Vai trò của VMF theo em thì tuy chỉ dừng lại ở mức truyền lửa và tạo môi trường thảo luận nhưng chúng ta có nhiều người đi trước từ nhiều lãnh vực. Nếu tạo được sự kết nối và giao lưu giữa thành phần tiên phong này và các bạn mới chập chững vào thì sẽ là một sự thúc đẩy rất đáng kể :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 12-04-2021 - 15:09

Em thấy bài viết của anh rất hay. Tuy nhiên em chỉ muốn anh giải đáp một chút thắc mắc của em về điều này:

 

2. Phương trình hàm trong toán olympic hiện nay khiến cho nó trở thành kỹ năng vô dụng nhất. Nguyên nhân là vì bài toán thường bắt giải một phương trình hàm rất phức tạp rối rắm, nhưng nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc. Từ góc độ khoa học, ta đang cố mô tả một sự kiện đơn giản bởi một phương trình hết sức phức tạp, làm như vậy là phản khoa học. Chẳng hạn, chỉ có duy nhất hàm số thực 0 thỏa mãn $f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2$. Có ai lại đi dùng phương trình hàm này để mô tả số 0? Một tình huống phương trình hàm có ích là khi ta không thể mô tả được một đối tượng một cách chính xác, nhưng nhờ phương trình hàm, ta vẫn thu được thông tin hữu ích của đối tượng đó, chứ không phải đi tìm hết các nghiệm của một phương trình hàm. Chẳng hạn, một dạng modular cần thoả mãn một phương trình hàm xác định, hay phương trình giữa các degeneracy maps (ánh xạ thoái hóa?) giúp ta xác định một vật nửa đơn hình. Mình chưa nghĩ ra tình huống nào có ích ở phổ thông, có lẽ cần tới đâu thì học tới đó chứ không nhất thiết phải tách ra để học. Còn nếu cố học thì phải theo hướng khác mới gần với khoa học chứ không phải là bài toán tìm hết các nghiệm;

 

Cho em hỏi là điều anh đang nói đến sự 'vô dụng' của phương trình hàm ở đây là anh đang nói đến thực tiễn của chúng, hay anh đang nói đến sự áp dụng của nó trong nghiên cứu toán học, hoặc là cái khác? Và em cũng muốn hỏi là tại sao anh lại mặc định vào phương trình hàm là 'nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc'? Em cảm thấy phương trình hàm có những cái vẻ đẹp riêng thuộc về nó, phương pháp rất đa dạng chứ không phải ở việc là chỉ đưa về các bài toán quen thuộc nhưng anh vẫn thường nghĩ. 

 

Mong anh giải đáp giúp, 'from pcoVietnam02 from Vietnam and Patrick in Paris'.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 12-04-2021 - 15:09


#6 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-04-2021 - 15:11

Em thấy bài viết của anh rất hay. Tuy nhiên em chỉ muốn anh giải đáp một chút thắc mắc của em về điều này:
Pco hãy cho thử một phương trình hàm và đưa ra nghiệm của nó (không cần chứng minh) cho mình xem.


Cho em hỏi là điều anh đang nói đến sự 'vô dụng' của phương trình hàm ở đây là anh đang nói đến thực tiễn của chúng, hay anh đang nói đến sự áp dụng của nó trong nghiên cứu toán học, hoặc là cái khác? Và em cũng muốn hỏi là tại sao anh lại mặc định vào phương trình hàm là 'nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc'? Em cảm thấy phương trình hàm có những cái vẻ đẹp riêng thuộc về nó, phương pháp rất đa dạng chứ không phải ở việc là chỉ đưa về các bài toán quen thuộc nhưng anh vẫn thường nghĩ.

Mong anh giải đáp giúp, 'from pcoVietnam02 from Vietnam and Patrick in Paris'.

Pco hãy cho thử một phương trình hàm và đưa ra nghiệm của nó (không cần chứng minh) cho mình xem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 12-04-2021 - 15:12


#7 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 12-04-2021 - 15:28

Pco hãy cho thử một phương trình hàm và đưa ra nghiệm của nó (không cần chứng minh) cho mình xem.

 

Nếu anh đưa một số phương trình hàm đơn giản, ví dụ như: 

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho

$$f(x+1)=f(x)+1$$

Thì đương nhiên anh sẽ dễ dàng đưa ra nghiệm là $f(x) = x$

 

Nhưng khi anh đưa một bài phương trình hàm kiểu như:

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:

$$f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$$

Thì anh khó có thể nhẩm hàm $f(n)$ thỏa, thậm chí đáp án của nó là tận 3 kết quả, một kết quả là hàm hằng, một cái là hàm tính theo $n$ , còn một cái là một biểu thức chứa số mũ tính theo $n$

 

P/s: Nhưng em vẫn chưa thật sự hiểu vì sao anh lại đề nghị như vậy, vì thật sự nếu anh yêu cầu em đưa ra một bài toán mà không cần chứng minh vẫn đưa ra được đáp án, thì thực chất nó không còn là giải toán, mà chỉ là việc anh đi nhẩm nghiệm để rút ngắn thời gian tìm đáp án cho bài toán ấy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 12-04-2021 - 15:36


#8 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-04-2021 - 15:38

Nếu anh đưa một số phương trình hàm đơn giản, ví dụ như: 
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x+1)=f(x)+1$$
Thì đương nhiên anh sẽ dễ dàng đưa ra nghiệm là $f(x) = x$
 
Nhưng khi anh đưa một bài phương trình hàm kiểu như:
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:
$$f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$$
Thì anh khó có thể nhẩm hàm $f(n)$ thỏa, thậm chí đáp án của nó là tận 3 kết quả, một kết quả là hàm hằng, một cái là hàm tính theo $n$ , còn một cái là một biểu thức chứa số mũ tính theo $n$
 
P/s: Nhưng em vẫn chưa thật sự hiểu vì sao anh lại đề nghị như vậy, vì thật sự nếu anh yêu cầu em đưa ra một bài toán mà không cần chứng minh vẫn đưa ra được đáp án, thì thực chất nó không còn là giải toán, mà chỉ là việc anh đi nhẩm nghiệm để rút ngắn thời gian tìm đáp án cho bài toán ấy.

Pco nói rõ hơn 2 nghiệm không phải hằng định nghĩa như thế nào.

#9 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 12-04-2021 - 15:54

Pco nói rõ hơn 2 nghiệm không phải hằng định nghĩa như thế nào.

 

Như bài toán lúc trước, nếu ta chứng minh một cách đàng hoàng, thì ta sẽ có nghiệm là

$$ f(n)=n+1 , \forall n \in\mathbb{N}$$

$$ f(n)= 1, \forall n \in\mathbb{N} $$ 

$$ f(n) = \frac{1+(-1)^n}{2} , \forall n \in\mathbb{N} $$

Ở đây nếu ta chia trường hợp trong bài toán này thì sẽ dễ dàng suy ra hai nghiệm đầu tiên là $f(n)=n+1$ và $f(n)=1$. Nói sơ về hàm khác hằng là hàm có phụ thuộc vào giá trị $n$, tức là với các giá trị $n$ thuộc tập hợp $\mathbb{M}$ ta lại có các giá trị ở tập đích nằm trong tập $\mathbb{N}$ với một quy tắc trong đó có phụ thuộc $n$ (cái này đã có ở phần ánh xạ). Còn nghiệm thứ ba, $ f(n) = \frac{1+(-1)^n}{2} , \forall n \in\mathbb{N} $, khi nhìn thoáng qua ta sẽ thấy f(n) cũng chỉ chứa hai giá trị $f(n)= 0$ hoặc $f(n) = 1$. Lúc đó ta sẽ tự hỏi là tại sao ta lại không đưa đáp án là 2 hàm hằng và 1 hàm giá trị tính theo $n$ nhưng nếu suy nghĩ như thế ta không chú ý vào điều kiện $\forall n \in\mathbb{N}$. Thực chất ta chỉ chứng minh được ở đó là $f(n)=0$ với $n$ lẻ và $f(n)=1$ với $n$ chẵn. Đây chính là điều cản trở sự tính nhẩm của ta, buộc ta phải bắt tay vào chứng minh.



#10 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-04-2021 - 16:44

Như bài toán lúc trước, nếu ta chứng minh một cách đàng hoàng, thì ta sẽ có nghiệm là
$$ f(n)=n+1 , \forall n \in\mathbb{N}$$
$$ f(n)= 1, \forall n \in\mathbb{N} $$ 
$$ f(n) = \frac{1+(-1)^n}{2} , \forall n \in\mathbb{N} $$
Ở đây nếu ta chia trường hợp trong bài toán này thì sẽ dễ dàng suy ra hai nghiệm đầu tiên là $f(n)=n+1$ và $f(n)=1$. Nói sơ về hàm khác hằng là hàm có phụ thuộc vào giá trị $n$, tức là với các giá trị $n$ thuộc tập hợp $\mathbb{M}$ ta lại có các giá trị ở tập đích nằm trong tập $\mathbb{N}$ với một quy tắc trong đó có phụ thuộc $n$ (cái này đã có ở phần ánh xạ). Còn nghiệm thứ ba, $ f(n) = \frac{1+(-1)^n}{2} , \forall n \in\mathbb{N} $, khi nhìn thoáng qua ta sẽ thấy f(n) cũng chỉ chứa hai giá trị $f(n)= 0$ hoặc $f(n) = 1$. Lúc đó ta sẽ tự hỏi là tại sao ta lại không đưa đáp án là 2 hàm hằng và 1 hàm giá trị tính theo $n$ nhưng nếu suy nghĩ như thế ta không chú ý vào điều kiện $\forall n \in\mathbb{N}$. Thực chất ta chỉ chứng minh được ở đó là $f(n)=0$ với $n$ lẻ và $f(n)=1$ với $n$ chẵn. Đây chính là điều cản trở sự tính nhẩm của ta, buộc ta phải bắt tay vào chứng minh.

Mình không quan tâm tới chứng minh của nó mà mình muốn xem ý nghĩa của vấn đề đó trước. Như bạn thấy cả 3 nghiệm này không cần tới phương trình f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1 để mô tả chúng. Mình không rõ bạn có hiểu ý mình không vì mình cũng sẽ nói y như ở trên. Có lẽ bạn nên so sánh ý nghĩa của phương trình hàm với đẳng thức hay công thức trong toán học. Chẳng hạn nếu f thỏa mãn f(x+1)=f(x) trên $\mathbb{R}$ cho phép ta coi $f$ như hàm trên đoạn [0,1] hoặc một hàm trên đường tròn đơn vị, hay những f bảo toàn phép toán cộng và nhân, tức là thỏa mãn f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) đóng vai trò rất quan trọng trong đại số. Cơ bản nhất, bạn có thể tìm ánh xạ $f: S\to S$ với $S=\left\{a+b\sqrt{2} \mid a,b\in \mathbb{Q} \right\}$ sao cho $f(1)=1, f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y)$ và so sánh với những phương trình hàm bạn hay giải.

#11 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-04-2021 - 17:09

Bản thân em hồi cấp 3 cũng từng đi luyện thi các cấp rồi đi thi VMO. Bây giờ thì em có một may mắn là đang làm luận án tiến sĩ trong mảng Combinatorial Operational Research, gần với Computer Science hơn là toán căn bản.
Khi nhìn lại thì em thấy quả thật hồi cấp 3 không luyện về mảng toán tổ hợp rời rạc nhiều hơn, bởi vì phần lớn những gì em làm, ngoài các công việc của tin học, là tìm những tính chất đặc biệt của những đại lượng hay phần tử rời rạc.
Ví dụ đơn giản như sau:
Một nhà máy nhận $n$ đơn hàng, mỗi đơn hàng $i$ có một khối lượng công việc cho trước $p_i$ và một hạn chót hoàn thành (deadline) là $d_i$. Vậy phải thực hiện các công việc theo thứ tự nào để đảm bảo có ít công việc trễ hẹn nhất?
Ai loay hoay một hồi sẽ thấy cách giải tối ưu chính là thực hiện công việc theo thứ tự tăng dần của hạn chót. Tương tự với việc khi học thi, chúng ta chọn ôn bài cho những bài thi nào trước mắt hơn là những bài sau đó. Từ một trực giác (intuition), ta cần tìm một chứng minh chặt chẽ nữa là xong :D
Qua ví dụ này, có thể thấy kỹ năng đúc kết tính chấtchuyển đổi tương đương là cực kỳ quan trọng, không chỉ trong mảng COR này mà còn các mảng khác, như Bằng đã nói bên trên.
 
Nhìn chung, theo kinh nghiệm em và những người bạn và đàn em của em, toán Olympic VN hiện tại còn sa đà trong kỹ thuật và bỏ qua chuyện luyện cho học sinh khả năng nhìn đa chiều và suy luận. Khắc phục cái này thì cần công sức dài hơi không chỉ ở các giáo viên mà còn ở các bậc lãnh đạo.
Vai trò của VMF theo em thì tuy chỉ dừng lại ở mức truyền lửa và tạo môi trường thảo luận nhưng chúng ta có nhiều người đi trước từ nhiều lãnh vực. Nếu tạo được sự kết nối và giao lưu giữa thành phần tiên phong này và các bạn mới chập chững vào thì sẽ là một sự thúc đẩy rất đáng kể :D

Có cách nào trên code cho phép sử dụng môi trường và ref lại được không? Nếu không thì rất khó viết được post dài trên diễn đàn.

#12 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 12-04-2021 - 20:56

Có cách nào trên code cho phép sử dụng môi trường và ref lại được không? Nếu không thì rất khó viết được post dài trên diễn đàn.

Cái này để đợt nâng cấp tới xem anh Khuê sẽ làm gì, chứ em cũng bó tay.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#13 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 629 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 12-04-2021 - 21:14

Em thấy bài viết của anh rất hay. Tuy nhiên em chỉ muốn anh giải đáp một chút thắc mắc của em về điều này:

 

 

Cho em hỏi là điều anh đang nói đến sự 'vô dụng' của phương trình hàm ở đây là anh đang nói đến thực tiễn của chúng, hay anh đang nói đến sự áp dụng của nó trong nghiên cứu toán học, hoặc là cái khác? Và em cũng muốn hỏi là tại sao anh lại mặc định vào phương trình hàm là 'nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc'? Em cảm thấy phương trình hàm có những cái vẻ đẹp riêng thuộc về nó, phương pháp rất đa dạng chứ không phải ở việc là chỉ đưa về các bài toán quen thuộc nhưng anh vẫn thường nghĩ. 

 

Mong anh giải đáp giúp, 'from pcoVietnam02 from Vietnam and Patrick in Paris'.

Trong khuôn khổ của toán sơ cấp (hay toán olympic, tùy tên gọi) thì các phương trình hàm chỉ có những đáp số là những hàm rất cơ bản như kiểu $f(x)=x + a$. Những hàm này không cần đến mô tả phức tạp lắt léo như các bài toán trong đề thi olympic, và do đó nó không có ý nghĩa gì nhiều ngoại trừ thỏa mãn trí tò mò. Đối với nghiên cứu Toán học và các vấn đề trong thực tiễn thì thường người ta chỉ dùng phương trình hàm để mô tả những hàm đặc biệt và khó tính toán, chẳng hạn như một $L$-hàm là phải thỏa mãn phương trình hàm \[L(1-s, \chi) = f(s, \chi)\overline{L(s, \chi)}, \] 

ở đây thậm chí $f$ là một hàm chưa biết và phải chọn $f$ sao cho nó có ý nghĩa và tương đối đơn giản. Khái niệm $L$-hàm là khái niệm rất quan trọng, liên quan trực tiếp đến giả thuyết Birch & Swinnerton-Dyer, một trong bảy bài toán thiên niên kỷ. 

 

Còn trong tự nhiên, chẳng hạn như các hiện tượng Vật Lý, thì việc hàm khả vi hay liên tục đều là những thứ gần như không xảy ra. Do đó mà người ta phải có khái niệm nghiệm yếu và hội tụ yếu. Cái này liên quan trực tiếp đến phương trình Navier-Stokes, cũng là một trong bảy bài toán thiên niên kỷ. Hy vọng cái này sẽ giúp bạn có thể hiểu những gì anh Bách đang diễn đạt trong bài. 


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#14 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 12-04-2021 - 21:19

Em chia sẻ một chút ý kiến của em về toán olympic, em vốn là người không giỏi về olympic nhưng vẫn luôn quan niệm rằng, mình vẫn luôn theo dõi nó dù mình không còn học cấp 3 nữa (hồi từ lớp 10 lên học toán chuyên, ập vào những bài toán olympic thực sự vô cùng khó, cầm một cái đề giỏi lắm là giải được 1 câu) , và em luôn  cực kì thích thú với hai mảng là số học và tổ hợp, em vẫn cố gắng trao dồi nó cho đến tận bây giờ. Và hiện tại, e đang theo học CNTT, không còn làm toán nhiều nữa, nhưng em nhận ra một số điều thú vị mà kiến thức số học, tổ hợp đem lại cho em, đó là khi em học về mảng quy hoạch động trong tin học thì e thấy nó có nhiều phần liên quan đến tổ hợp đếm, hay hiện tại e đang có học về RSA thì nó lại liên quan đến số học ,đó là những phép đồng dư. Và e càng học thì e cảm thấy rằng, để phát huy những cái hay của toán thì mình cần thêm giữa cầu nối toán sơ cấp và toán cao cấp. Chẳng hạn như bài toán fibonacii, nó có một cách giải liên quan đến ma trận khá là hay hoặc những bài toán liên quan đến công thức truy hồi tuyến tính tương tự như vậy ! Em mong là diễn đàn mình ngày càng có nhiều bài toán mang tính cầu nối giữa sơ cấp với cao cấp, giữa hình học với đại số, rồi những bài toán mô hình hoá những vấn đề thực tế, như vậy toán học sẽ thú vị hơn ạ ! 



#15 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 12-04-2021 - 22:40

Em có một câu hỏi mong mọi người giải đáp giúp là: Hình học phẳng trong olympic liệu có quan trọng không ạ; em đã từng thấy rất nhiều anh chị đề cập đến việc hình euclid sẽ vô dụng khi ta học toán cao cấp nhưng nếu thật sự hình học phẳng "vô dụng" vậy thì sao nó vẫn đóng vai trò khá quan trọng trong toán olympic; bằng chứng là trong VMO và TST năm nay có đến 2 bài hình và một trong 2 đều là câu khó nhất đề và tại sao các thầy giáo lại đưa nó vào trong các đề thi HSG nếu nó "vô dụng" ? Mong mọi người trả lời giúp em  :lol:



#16 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Arithmetic geometry

Đã gửi 12-04-2021 - 22:48

Còn một chủ đề nữa trong toán olympic là giải tích. Gần như các bài giải tích chỉ xoay quanh một câu hỏi rất nhảm là tính giới hạn dãy số, làm cho học sinh tưởng là giải tích chỉ có mỗi vậy.


$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace


#17 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 12-04-2021 - 23:01

Em có một câu hỏi mong mọi người giải đáp giúp là: Hình học phẳng trong olympic liệu có quan trọng không ạ; em đã từng thấy rất nhiều anh chị đề cập đến việc hình euclid sẽ vô dụng khi ta học toán cao cấp nhưng nếu thật sự hình học phẳng "vô dụng" vậy thì sao nó vẫn đóng vai trò khá quan trọng trong toán olympic; bằng chứng là trong VMO và TST năm nay có đến 2 bài hình và một trong 2 đều là câu khó nhất đề và tại sao các thầy giáo lại đưa nó vào trong các đề thi HSG nếu nó "vô dụng" ? Mong mọi người trả lời giúp em  :lol:

Chứ chả nhẽ cho các em làm hình học đại số trong đề thi? Đùa thôi, em pick bất kì một trong các lý do sau thì có thể xem như câu trả lời của anh.

 

1) Nó vô dụng vì không có ứng dụng gì?

2) Vì thi Olympic cũng vô dụng không kém?

3) Vì các thầy biết nó vô dụng nhưng bỏ thi thì không được?

4) Có vài thầy giả vờ rằng nó không vô dụng?

 

Em đang hỏi bọn anh theo cách này vì tiền đề là em giả sử cái gì thầy các em làm cũng là đúng, vậy các thầy không dạy các em học toán thì phải biết đặt câu hỏi hay hoài nghi à? Còn em muốn biết sao nó vô dụng theo kiểu cách chứng minh đàng hoàng thì hỏi anh nmlinh16, chắc một post cũng đủ tóm tắt cho em hiểu tại sao rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-04-2021 - 23:14

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#18 Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:...

Đã gửi 12-04-2021 - 23:33

Bản thân mình đang học năm hai của đại học sư phạm và thấy một số thứ mình đã từng học ở Olympic xuất hiện lại ở bậc Đại học (Số học ở Olympic và Đại số đại cương-Lý thuyết số ở Đại học, các khái niệm hàng điểm điều hoà - hình học xạ ảnh, ...) và mình tìm thấy sự thú vị trong đấy. Đó là lý do mình tiếp tục chọn tìm hiểu sâu vào những khái niệm ấy. Mình nghĩ học (một số chủ đề của) toán Olympic là một bước đà (về mặt tư duy và cả tinh thần!?) để có niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về toán. 

Tất nhiên, mình cũng không biết các dạng toán như phương trình hàm hay những bài hình rối một cục thì có giúp tạo ra động lực và rèn luyện tư duy cho các bạn học sinh để học toán cao cấp, thứ gần với thực tiễn hơn toán Olympic.

 

Câu hỏi mình cũng muốn đặt ra là nếu xét trên phương diện rèn luyện tư duy thì chừng nào là đủ với các học sinh chuyên? Chủ đề nay cần phải bàn luận thật kĩ vì giáo dục ảnh hưởng đến tương lai con người.

 

Còn một vấn đề nữa là những người bạn cùng khoá của mình có cả học sinh giỏi quốc gia và các bạn học ở những trường bình thường nhưng khả năng làm toán cao cấp của các bạn ấy đều là ngang nhau. Không biết Olympic có giúp tạo ra sự khác biệt gì không?



#19 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-04-2021 - 00:35

Còn một chủ đề nữa trong toán olympic là giải tích. Gần như các bài giải tích chỉ xoay quanh một câu hỏi rất nhảm là tính giới hạn dãy số, làm cho học sinh tưởng là giải tích chỉ có mỗi vậy.

Anh không nhớ rõ lắm, nhưng hình như giải tích ở phổ thông khi học về dãy số cũng được dạy định nghĩa sử dụng $\epsilon.$ Không hiểu sao thay vì đi tiếp theo hướng thuần túy giải tích hơn thì lại chỉ tập trung vào tìm giới hạn của dãy số. Anh đang có ý tưởng là nếu giải tích đủ tốt như vậy thì học sinh thay vì đi tìm giới hạn dãy số có thể học được hình học vi phân của đường cong và mặt nhúng trong $\mathbb{R}^3$. Vì định nghĩa của tập mở trong $\mathbb{R}^3$ dễ nói, sau đó định nghĩa được tập mở của các tập con của nó và như vậy có thể đi tiếp được như bình thường. Anh đang nghĩ tới nội dung như quyển sách của do Carmo. Nhưng hiện tại code trên diễn đàn không cho phép sử dụng môi trường và ref nên không thể viết được gì dài hơi hay tổng hợp lại được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 13-04-2021 - 00:37


#20 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-04-2021 - 01:10

Bản thân mình đang học năm hai của đại học sư phạm và thấy một số thứ mình đã từng học ở Olympic xuất hiện lại ở bậc Đại học (Số học ở Olympic và Đại số đại cương-Lý thuyết số ở Đại học, các khái niệm hàng điểm điều hoà - hình học xạ ảnh, ...) và mình tìm thấy sự thú vị trong đấy. Đó là lý do mình tiếp tục chọn tìm hiểu sâu vào những khái niệm ấy. Mình nghĩ học (một số chủ đề của) toán Olympic là một bước đà (về mặt tư duy và cả tinh thần!?) để có niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về toán. 

Tất nhiên, mình cũng không biết các dạng toán như phương trình hàm hay những bài hình rối một cục thì có giúp tạo ra động lực và rèn luyện tư duy cho các bạn học sinh để học toán cao cấp, thứ gần với thực tiễn hơn toán Olympic.
 
Câu hỏi mình cũng muốn đặt ra là nếu xét trên phương diện rèn luyện tư duy thì chừng nào là đủ với các học sinh chuyên? Chủ đề nay cần phải bàn luận thật kĩ vì giáo dục ảnh hưởng đến tương lai con người.
 
Còn một vấn đề nữa là những người bạn cùng khoá của mình có cả học sinh giỏi quốc gia và các bạn học ở những trường bình thường nhưng khả năng làm toán cao cấp của các bạn ấy đều là ngang nhau. Không biết Olympic có giúp tạo ra sự khác biệt gì không?

Hình học xạ ảnh hay lý thuyết số mà được học ở đại học thì đúng là phong cách ở sư phạm rồi, vì cả hai môn này lại không được dạy ở khoa học tự nhiên. Nên mình thấy trải nghiệm cá nhân cũng có thể dùng làm bằng chứng, nhưng không vững chắc lắm. Có vẻ như mình cũng chưa nói rõ, nhưng mình không muốn bàn chuyện thi cử ở đây vì chuyện đó quá rõ ràng rồi. Luôn phải có một kỳ thi, dù là thi cái gì. Còn nội dung ta thay đổi, như mình đã nói trước ở trên, là với anh em trên diễn đàn thôi chứ không phải giáo dục con người quy mô lớn. Cái này nếu nói mà các quan nghe thì đã chả có kỳ thi trắc nghiệm =).




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh