Đến nội dung


Hình ảnh

Ứng dụng của bất đẳng thức Nesbitt trong Hình học

hình học

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 19-04-2021 - 12:17

$\boxed{Problem 2}$Cho lục giác $ABCDEF$ có $AB=BC,CD=DE,EF=FA$. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\geqslant \frac{3}{2}$

Screenshot (1328).png

Áp dụng bất đẳng thức Ptoleme cho tứ giác $ABCE$, ta được: $AB.CE+BC.AE\geqslant AC.BE$ hay $BC.CE+BC.AE\geqslant AC.BE$ (Do $AB = BC$) $\Rightarrow \frac{BC}{BE}\geqslant \frac{AC}{CE+AE}$

Tương tự, ta có: $\frac{DE}{DA}\geqslant \frac{CE}{AC+AE};\frac{FA}{FC}\geqslant \frac{AE}{AC+EC}$

Mà $\frac{AC}{CE+AE}+\frac{CE}{AC+AE}+\frac{AE}{AC+EC}\geqslant \frac{3}{2}(Nesbitt)$ nên $\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\geqslant \frac{3}{2}(Q.E.D)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh