3 replies to this topic

[Lemonjuice]

Tìm D nguyên dương sao cho với $x\in \mathbb{Z}[\sqrt{-D}]$ thì luôn có thể phân tích x thành dạng $x=\prod_{k=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}$ biết $i=1;2...;n$ ( n nguyên dương)  một cách duy nhất nếu bỏ đi thứ thự sắp xếp của $p_{i}^{a_{i}}$ với $p_{i}$ là số nguyên tố thuộc vành  $\mathbb{Z}[\sqrt{-D}]$

P/S: ý em là tìm D sao cho nó có thể phân tích giống như định lý cơ bản của số học trong vành số nguyên 

[vutuanhien]

Tìm D nguyên dương sao cho với $x\in \mathbb{Z}[\sqrt{-D}]$ thì luôn có thể phân tích x thành dạng $x=\prod_{k=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}$ biết $i=1;2...;n$ ( n nguyên dương)  một cách duy nhất nếu bỏ đi thứ thự sắp xếp của $p_{i}^{a_{i}}$ với $p_{i}$ là số nguyên tố thuộc vành  $\mathbb{Z}[\sqrt{-D}]$

P/S: ý em là tìm D sao cho nó có thể phân tích giống như định lý cơ bản của số học trong vành số nguyên 

Câu hỏi của bạn tương đương với việc khi nào thì $\mathbb{Z}[\sqrt{-D}]$ là một vành nhân tử hóa (UFD). Câu trả lời là mọi $D \ge 3$ đều không thỏa mãn. Chỉ có $D=1, 2$ là thỏa mãn thôi. Nếu bạn đã quen làm việc với các vành kiểu này thì chứng minh kết quả trên không khó, dựa vào công thức của chuẩn (norm) là được.
 

P/S: Những bài kiểu này lần sau nên đăng vào box Toán Đại học nhé.

Edited by vutuanhien, 21-04-2021 - 01:50.

[Lemonjuice]

Câu hỏi của bạn tương đương với việc khi nào thì $\mathbb{Z}[\sqrt{-D}]$ là một vành nhân tử hóa (UFD). Câu trả lời là mọi $D \ge 3$ đều không thỏa mãn. Chỉ có $D=1, 2$ là thỏa mãn thôi. Nếu bạn đã quen làm việc với các vành kiểu này thì chứng minh kết quả trên không khó, dựa vào công thức của chuẩn (norm) là được.
 

P/S: Những bài kiểu này lần sau nên đăng vào box Toán Đại học nhé.

Em có một thắc mắc là liệu có thể tổng quát hóa  bài toán lên cho $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{-D}]$  với n nguyên dương lớn hơn 2 và D là số nguyên được không ạ ?

 

P/S: Anh có thể move giúp em bài này ra box đại học được không ạ.

Edited by Lemonjuice, 21-04-2021 - 11:21.

[vutuanhien]

Em có một thắc mắc là liệu có thể tổng quát hóa  bài toán lên cho $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{-D}]$  với n nguyên dương lớn hơn 2 và D là số nguyên được không ạ ?

 

P/S: Anh có thể move giúp em bài này ra box đại học được không ạ.

Đó là một câu hỏi hay, nhưng theo mình biết thì đến nay chưa có câu trả lời. Ở đây mình chỉ đưa ra một số bình luận.

 

1) Đối với các vành số nguyên, vì điều kiện nhân tử hóa gần như không có nên các nhà Toán học đưa ra một khái niệm yếu hơn là phân tích duy nhất của ideal

\[ (\mathfrak{p}) = \prod_{i}(\mathfrak{p_{i}})^{k_{i}}.\]

Những vành có tính chất như vậy được gọi là vành Dedekind, và "may mắn" là tất cả các vành số nguyên của một mở rộng hữu hạn trên $\mathbb{Q}$ đều là vành Dedekind.

 

2) Việc xác định một vành số nguyên (rings of integers) có phải vành nhân tử hóa không là một việc rất khó. Điều này tương đương với việc chứng minh rằng nhóm các lớp (class group) là tầm thường. Ngay cả trường hợp $n=2$ thì việc xác định số lớp của $\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$ có phải $1$ không đã là một giả thuyết lâu đời và mới chỉ được chứng minh gần đây (1967, xem định lý Stark-Heegner). Với $D<0$ thì giả thuyết là tồn tại vô hạn $D$ như vậy nhưng cũng chưa chứng minh được.

 

3) Ngay cả khi vành số nguyên của $\mathbb{Q}(\sqrt[n]{-D})$ là UFD thì cũng chưa chắc nó đã bằng $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{-D}]$.

 

4) Về những vấn đề này bạn có thể đọc cuốn Algebraic Number Theory của James Milne để biết thêm chi tiết trong một số trường hợp cụ thể.