Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi Intercontinental Mathematics Tournament


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 20-04-2021 - 22:14

Hôm nay mình xin gửi các bạn một đề thi khá hay, được ra đề bởi hội đồng Iran, đề bài được ra bởi một số giáo sư nổi tiếng như Mohammad Ahmadi, Amir Hossein Parvardi, Mohammad Gharakhani. Năm nay kì thi được tổ chức lần đầu tiên ở diễn đàn AoPS, với sự tham gia của một số bạn trong VMF như KietLW9, ChiMiwhh, DaiphongLT, Syndycate, nehess, Hoang72, Mr handsome, pcoVietnam02, và 94 thí sinh khác từ rất nhiều quốc gia trên thế giới. Cuộc thi mang tính cọ xát nhiều hơn là thi đấu nhưng nhìn chung đề được thiết kế tương đối hay, phù hợp với các bạn THPT. Sau đây là đề thi IMT đánh bằng LaTeX (tái bản lần thứ 2 bởi oVlad, dịch bởi pcoVietnam02):

 

 
Ngày một (Đại số):
 
P1. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ thỏa mãn với mọi số thực dương  $x,y$ và $z$ sao cho $x+f(y)$ và $x+f(z) +f(x+f(y))$ dương, ta có được điều sau:
 
$$f(x+f(z) +f(x+f(y)))+y+f(z)=0.$$
 
Proposed by Mohammad Ahmadi
 
P2. Ramtin và Parsa chơi một trò chơi với đa thức sau
$$P(x)=\square \ x^4+\square \ x^3 +\square \ x^2 +\square \ x+\square\ .$$
Mỗi người sẽ lần lượt điền vào các hệ số thực bất kì (bắt đầu từ hệ số cao nhất). Parsa dự đoán rằng sau khi trò chơi kết thúc thì đa thức trên sẽ có 4 nghiệm thực hoặc không có nghiệm nào. Ramtin cần phải ngăn Parsa thắng. Nếu Ramtin đi trước thì chiến lược của ai sẽ thắng?
 
Proposed by Mohammad Ahmadi
 
P3.1 Cho $x,y$ and $z$ là các số thực dương thỏa mãn
$$\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}=\frac{1}{8}.$$
Chứng minh rằng: 
$$\sqrt[3] {3(x+y+z)} \geq \sqrt[3] {x-\frac{16}{x^3}}+\sqrt[3] {y-\frac{16}{y^3}}+\sqrt[3] {z-\frac{16}{z^3}}.$$
 
Proposed by Amir Hossein Parvardi.
 
P3.2 Tìm hằng số thực $x$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau đúng với mọi $a, b, c$ thực: 
\[\sum_{cyc} \sqrt \frac{a^2+b^2}{2}+x\sum_{cyc} \sqrt{ab} \geq (1+x)(\sum_{cyc} a).\]
 
Proposed by Mohammad Ahmadi
 
 
 
Ngày hai: (Số học)
 
P1. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ thỏa mãn
$$m^2+n^2 \mid f(n)^{\varphi (m)} +f(m)^{\varphi (n)}.$$
($\varphi (n)$ là phi hàm Euler.)
 
Proposed by Mohammad Gharakhani
 
P2. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
\[p^2+1 \mid 2021^q+17^q\text{ và }q^2+1 \mid 2021^p+17^p.\]
 
Proposed by @Hopeooooo
 
P3. Có vô số số $n \in \mathbb N$ thỏa mãn $6n^4+27n^3+51n^2+48n+18$ mà tồn tại ước nguyên tố lớn hơn \[\sqrt{4n^2+11n+99+4n\sqrt{2n+1}}?\]
 
Proposed by @Hopeooooo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 20-04-2021 - 22:21


#2 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 21-04-2021 - 00:45

Cái P3.2 ở đâu vậy anh??

:) Bài bất í



#3 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 21-04-2021 - 11:41

Cái P3.2 ở đâu vậy anh??
:) Bài bất í


Câu này là câu dự bị để dành cho sự thiếu sót của câu 3.1. Nhưng mà làm xong bài trên r thì thôi :))




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh