Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại �

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\boxed{Problem 19}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.

Screenshot (1352).png

 

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

$\boxed{Problem 19}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.

attachicon.gifScreenshot (1352).png

Gợi ý: $KS$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Sử dụng biến đổi góc chứng minh $\angle ASK=90^{\circ}$, suy ra được $S$ là trung điểm $PQ$.

Tiếp theo, chứng minh $$\frac{PB}{PE}=\frac{QD}{QC}$$

Từ bổ đề ERIQ suy ra trung điểm $BD,CE,PQ$ thẳng hàng. 



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Và đây là lời giải của mình: 

Gọi $I$ là giao điểm của tia phân giác góc $BAC$ với $MN$, $T$ là giao điểm của tia phân giác góc $DKB$ với $MN$

Dễ có $\Delta ABD\sim\Delta ACE\Rightarrow \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2BM}{2CN}=\frac{BM}{CN}$

$\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có $\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CN}$ và $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ nên $\Delta ABM\sim\Delta ACN$

$\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$ và $IM$ là phân giác góc $MAN$

Như vậy, ta có: $\frac{IM}{IN}=\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}=\frac{BD}{CE}$

Tương tự: $\frac{TM}{TN}=\frac{BD}{CE}$ nên $I,T$ trùng nhau mà $S$ là giao điểm của giác tia phân giác góc $BAC$ và $DKB$ nên $S,I,T$ trùng nhau. 

Vậy ba điểm $M,S,N$ thẳng hàng(đpcm).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 23-04-2021 - 17:44

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

$\boxed{Problem 19}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.

attachicon.gifScreenshot (1352).png

Bài này có thể mở rộng cho một tứ giác toàn phần bất kỳ.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh