Mọi người có thể giúp mình và giải thích chi tiết cách giải của bài này được không ạ? Mình cảm ơn!
Cho $a, b, c > 0$, $a + b + c + 2 = abc$.
Chứng minh:
$(ab+1)(bc+1)(ac+1)\geq 125$
Mọi người có thể giúp mình và giải thích chi tiết cách giải của bài này được không ạ? Mình cảm ơn!
Cho $a, b, c > 0$, $a + b + c + 2 = abc$.
Chứng minh:
$(ab+1)(bc+1)(ac+1)\geq 125$
Từ giả thiết quen thuộc thì ta sẽ tìm được cách đặt phù hợp
Cụ thể là
Đặt $p=a+b+c$
$r=abc$
$q=ab+bc+ac$
Từ giả thiết dễ cm $r\geq 8$ nên $p\geq 6$ và $q\geq 12$
Khai điển bđt cần cm rồi đưa về cm
$pr+r^2+q-120\geq 0$
hay
$2p^2+6p+q-120\geq 0$
Lại có
$2p^2+6p-108\geq 0$ đúng với $p\geq 6$
Nên bất đẳng thức được Cm
xảy ra khi $a=b=c=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 24-04-2021 - 09:41
Anh có thể giải bài toán cụ thể hơn được không ạ? Em vẫn chưa hiểu lắm! Em cảm ơn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenMinhTri: 24-04-2021 - 18:30
Anh có thể giải bài toán cụ thể hơn được không ạ? Em vẫn chưa hiểu lắm! Em cảm ơn!
Ta có: $abc=a+b+c+2\geqslant 3\sqrt[3]{abc}+2\Rightarrow (\sqrt[3]{abc}+1)^2(\sqrt[3]{abc}-2)\geqslant 0\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geqslant 2\Rightarrow abc\geqslant 8$
Do vậy: $\left\{\begin{matrix}ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geqslant 12 & \\ a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc} \geqslant 6& \end{matrix}\right.$
Khai triển bất đẳng thức cần chứng minh: $a^2b^2c^2+abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)+1\geqslant 125$
Mà $a+b+c\geqslant 6;ab+bc+ca\geqslant 12$ nên ta quy về chứng minh: $a^2b^2c^2+6abc+12+1\geqslant 125\Leftrightarrow (abc-8)(abc+14)\geqslant 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$
P/s: Chắc là cụ thể rồi nhỉ, ý tưởng thì chủ yếu của anh ChiMiwhh
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh