Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $(ab+1)(bc+1)(ca+1)\geq125$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
NguyenMinhTri

NguyenMinhTri

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết

Mọi người có thể giúp mình và giải thích chi tiết cách giải của bài này được không ạ? Mình cảm ơn!

 

Cho $a, b, c > 0$, $a + b + c + 2 = abc$. 

 

Chứng minh:

 

$(ab+1)(bc+1)(ac+1)\geq 125$



#2
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Mọi người có thể giúp mình và giải thích chi tiết cách giải của bài này được không ạ? Mình cảm ơn!

 

Cho $a, b, c > 0$, $a + b + c + 2 = abc$. 

 

Chứng minh:

 

$(ab+1)(bc+1)(ac+1)\geq 125$

Từ giả thiết quen thuộc thì ta sẽ tìm được cách đặt phù hợp 

Cụ thể là

Đặt $p=a+b+c$

$r=abc$

$q=ab+bc+ac$

Từ giả thiết dễ cm $r\geq 8$ nên $p\geq 6$ và $q\geq 12$

Khai điển bđt cần cm rồi đưa về cm

$pr+r^2+q-120\geq 0$

hay 

$2p^2+6p+q-120\geq 0$

Lại có 

$2p^2+6p-108\geq 0$ đúng với $p\geq 6$

Nên bất đẳng thức được Cm

xảy ra khi $a=b=c=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 24-04-2021 - 09:41


#3
NguyenMinhTri

NguyenMinhTri

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết

Anh có thể giải bài toán cụ thể hơn được không ạ? Em vẫn chưa hiểu lắm! Em cảm ơn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenMinhTri: 24-04-2021 - 18:30


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Anh có thể giải bài toán cụ thể hơn được không ạ? Em vẫn chưa hiểu lắm! Em cảm ơn!

Ta có: $abc=a+b+c+2\geqslant 3\sqrt[3]{abc}+2\Rightarrow (\sqrt[3]{abc}+1)^2(\sqrt[3]{abc}-2)\geqslant 0\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geqslant 2\Rightarrow abc\geqslant 8$

Do vậy: $\left\{\begin{matrix}ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geqslant 12 & \\ a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc} \geqslant 6& \end{matrix}\right.$

Khai triển bất đẳng thức cần chứng minh: $a^2b^2c^2+abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)+1\geqslant 125$

Mà $a+b+c\geqslant 6;ab+bc+ca\geqslant 12$ nên ta quy về chứng minh: $a^2b^2c^2+6abc+12+1\geqslant 125\Leftrightarrow (abc-8)(abc+14)\geqslant 0$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

P/s: Chắc là cụ thể rồi nhỉ, ý tưởng thì chủ yếu của anh ChiMiwhh  :wacko: 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh