Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] HÌNH HỌC 8 CHUẨN BỊ CHO CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI 2020-2021

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 92 trả lời

#1 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 24-04-2021 - 18:37

I/ LỜI NÓI ĐẦU

Có lẽ bây giờ nhiều bạn học sinh lớp 8 đang sắp bước vào kì thi học sinh giỏi cấp huyện(như mình  :icon6: ), bản thân mình cảm thấy Box Hình học THCS dạo gần đây có rất ít các Topic về các bài toán hình học lớp 8 khó. Vì những lý do đó, mình đã quyết định đăng nhưng bài tập (Mỗi ngày khoảng 5-10 bài) để các bạn cùng thảo luận, suy nghĩ và phát triển tư duy hình học làm bệ phóng để đạt những thành tích cao trong các kì thi. Tuy nhiên, việc đăng quá nhiều bài của mình cũng nhận được một ý kiến trái chiều rằng đăng như thế rất rời rạc, bản thân mình cũng thấy việc đăng như thế sẽ làm trôi câu hỏi của nhiều bạn nên hôm nay mình quyết định tạo một TOPIC về hình học lớp 8.

~~~ Theo ý kiến riêng của mình thì phân môn Hình học THCS thì chỉ có lớp 8 và lớp 9 là có nhiều những bài toán hay và khó, còn lớp 6 thì chủ yếu là khởi động, tìm hiểu những cốt lõi cơ bản, lớp 7 thì chỉ dừng lại ở mức các tam giác bằng nhau và các đường đồng quy. Lớp 8 thì các bạn phải vận dụng cả về tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng, định lý Thales tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ, đôi khi còn phải động não sử dụng khéo léo phương pháp diện tích và đặc biệt là vẽ thêm hình phụ... và lớp 9 trở nên toàn diện khi được bổ sung những kiến thức khó về đường tròn. 

~~~ Nói về các đề thi chọn học sinh giỏi thì như các bạn đã biết, thường thì sẽ có một câu hình gồm 3 mảng a), b), c) chiếm 30% số điểm (6/20). Trong 3 câu đó thì câu hình c) có thể là câu khó phải vận dụng việc vẽ thêm hình phụ, ở một số đề thi thì câu hình sẽ là câu khóa thay cho Số họcBất đẳng thức, những câu đó thưởng rất ngắn nhưng lại cực kì khó. Do vậy, trong topic này mình sẽ đăng những câu mà mình nghĩ là hay lên để các bạn cùng suy nghĩ và thảo luận. Các bạn cũng có thể đăng nhưng phải thuộc phạm vi kiến thức lớp 8 hoặc bài hình lớp 9 có cách sử dụng kiến thức lớp 8.

Không dài dòng nữa, mình sẽ nêu ra một số khuyến cáo của TOPIC:

+) Khi đăng bài thì các bạn nên đăng cùng hình vẽ để các bạn dễ tiếp thu đề và nhận biết hướng làm

+) Sau 1 ngày khi các bạn đăng bài nếu không ai giải được thì các bạn phải post lời giải. (Mình cũng làm tương tự)

Mình cũng sẽ tích cực tham gia thảo luận cùng các bạn và mỗi ngày mình sẽ post từ 4-5 bài. Mong các bạn học sinh lớp 8, cũng như các anh chị lớp 9 sẽ ủng hộ Topic cho nó thêm phần phát triển.

II/ BÀI TẬP

$\boxed{1}$Cho $\Delta ABC$, hai điểm $D,E$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA$; $F$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $EF//BC$, $G$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $EG//AD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $FG$ nằm trên đường thẳng $MN$.

Screenshot (1358).png

TỔNG HỢP SỐ CÂU ĐÚNG:

Hoang72: $\boxed{8}$ câu

Master Of Inequality: $\boxed{1}$ câu

Thanh Long Nguyen: $\boxed{1}$ câu

LongNT: $\boxed{2}$ câu

dangcongsanvietnam: $\boxed{5}$ câu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 13:55

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN

Đã gửi 24-04-2021 - 19:33

II/ BÀI TẬP

$\boxed{1}$Cho $\Delta ABC$, hai điểm $D,E$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA$; $F$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $EF//BC$, $G$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $EG//AD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $FG$ nằm trên đường thẳng $MN$.

 

Gọi T là trung điểm của GF, H là trung điểm của EF. 

Theo bổ đề hình thang ta có A, H, N thẳng hàng.

Theo tính chất đường trung bình, ta có HT // EG // AD và EG = 2HT.

Từ đó $\frac{HT}{AM}=\frac{EG}{AD}=\frac{BE}{BA}=\frac{NH}{NA}$.

Theo định lý Thales, ta có M, T, N thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (6).png


#3 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 24-04-2021 - 20:07

Gọi T là trung điểm của GF, H là trung điểm của EF. 

Theo bổ đề hình thang ta có A, H, N thẳng hàng.

Theo tính chất đường trung bình, ta có HT // EG // AD và EG = 2HT.

Từ đó $\frac{HT}{AM}=\frac{EG}{AD}=\frac{BE}{BA}=\frac{NH}{NA}$.

Theo định lý Thales, ta có M, T, N thẳng hàng.

Rất chính xác! Bây giờ sẽ là bài tiếp theo (Do bài này hình vẽ rất khó chính xác nên mình xin phép không kèm hình)

$\boxed{2}$Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau và vuông góc với nhau, $AB=\sqrt{3}$, $BC=\sqrt{6}$, $CD=3$. Vẽ hình vuông $ACEF$ nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AC$ không chứa $B$. Trên đường thẳng vuông góc với $ED$ tại $E$, lấy điểm $K$ sao cho $EK=ED$($K$ và $F$ lần lượt nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng $ED$). Chứng minh ba điểm $C,D,F$ thẳng hàng.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN

Đã gửi 24-04-2021 - 22:30

Rất chính xác! Bây giờ sẽ là bài tiếp theo (Do bài này hình vẽ rất khó chính xác nên mình xin phép không kèm hình)

$\boxed{2}$Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau và vuông góc với nhau, $AB=\sqrt{3}$, $BC=\sqrt{6}$, $CD=3$. Vẽ hình vuông $ACEF$ nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AC$ không chứa $B$. Trên đường thẳng vuông góc với $ED$ tại $E$, lấy điểm $K$ sao cho $EK=ED$($K$ và $F$ lần lượt nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng $ED$). Chứng minh ba điểm $C,D,F$ thẳng hàng.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do $AC\perp BD$ nên ta có kết quả quen thuộc là $AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$. Từ đó tìm được AD = $\sqrt{6}$.

Suy ra $\Delta ADC=\Delta BCD(c.c.c)$. Do đó tam giác OCD vuông cân tại O nên tam giác OAB cũng vuông cân tại O.

Dễ dàng có được tứ giác ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\angle ADF=\angle BAD = 180^o-\angle ADC$.

Vậy C, D, F thẳng hàng. 

P/s: Hình như trên VMF có khá ít bạn lớp 8

Hình gửi kèm

  • Screenshot (1).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 24-04-2021 - 22:32


#5 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 25-04-2021 - 07:28

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do $AC\perp BD$ nên ta có kết quả quen thuộc là $AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$. Từ đó tìm được AD = $\sqrt{6}$.

Suy ra $\Delta ADC=\Delta BCD(c.c.c)$. Do đó tam giác OCD vuông cân tại O nên tam giác OAB cũng vuông cân tại O.

Dễ dàng có được tứ giác ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\angle ADF=\angle BAD = 180^o-\angle ADC$.

Vậy C, D, F thẳng hàng. 

P/s: Hình như trên VMF có khá ít bạn lớp 8

Bài làm không sai nhưng mình sẽ khai thác thêm một các sử dụng điểm $K$ trong đề.

Lời giải vắn tắt: 

Dễ thấy các tứ giác $ABDF,BCED$ là hình bình hành nên $FD=AB=\sqrt{3},DE=BC=\sqrt{6}$

Dễ chứng minh $\Delta EDF=\Delta EKC(c.g.c)$. Do đó $CK=FD=\sqrt{3}$

$\Delta EDK$ vuông tại $E$ nên theo Pythagoras: $DK^2=DE^2+EK^2=6+6=12=CD^2+CK^2$ nên $\Delta DCK$ vuông tại $C$ (Pythagoras đảo)

Từ đó suy ra $\widehat{EKC}+\widehat{EDC}=180^{\circ}$ hay $\widehat{EDF}+\widehat{EDC}=180^{\circ}$. Vậy ba điểm $C,D,F$ thẳng hàng.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#6 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 25-04-2021 - 07:34

Bài tiếp theo:

$\boxed{3}$ Cho hình vuông $ABCD$. Điểm $M$ thay đổi trên cạnh $BC$($M$ không trùng $B$ và $C$), điểm $N$ thay đổi trên cạnh $CD$ sao cho $\widehat{MAN}=45^{\circ}$, $E$ là giao điểm của $AN$ và $BD$. Chứng minh tam giác đường thẳng $MN$ luôn cách một điểm cố định một khoảng không đổi.

Screenshot (1359).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 25-04-2021 - 10:42

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#7 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 25-04-2021 - 10:48

Bài tiếp theo:

$\boxed{3}$ Cho hình vuông $ABCD$. Điểm $M$ thay đổi trên cạnh $BC$($M$ không trùng $B$ và $C$), điểm $N$ thay đổi trên cạnh $CD$ sao cho $\widehat{MAN}=45^{\circ}$, $E$ là giao điểm của $AN$ và $BD$. Chứng minh tam giác đường thẳng $MN$ luôn cách một điểm cố định một khoảng không đổi.

attachicon.gifScreenshot (1359).png

Như vậy, bài này đã được giải ở $\boxed{Problem 36}$: https://diendantoanh...-c-điểm-n-thay/

Tiếp tục:

$\boxed{4}$Trên cạnh $AC,BC$ của $\Delta ABC$ theo thứ tự lấy các điểm $M,K$, trên đoạn $MK$ lấy $P$ sao cho $\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$. Tính diện tích $\Delta ABC$ theo diện tích tam giác $AMP$ và $BKP$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 25-04-2021 - 10:54

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#8 Thanh Long Nguyen

Thanh Long Nguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 25-04-2021 - 13:25

$\boxed{5}$Cho ∆ABC vuông tại A, AB>AC. Kẻ đường cao AH, D là trung điểm AB. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt CD và CB tại F. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt AB tại N, đường phân giác ∠BAC cắt CD tại P. Gọi Q là giao đểm của HP và NC. Chứng minh ∆AQC cân và tính số đo ∠QAH.

Screenshot (1362).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 25-04-2021 - 13:47


#9 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 25-04-2021 - 18:40

$\boxed{6}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.

Screenshot (1365).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#10 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 25-04-2021 - 19:21

$\boxed{7}$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Tia phân giác của góc $BAH$ cắt $BH$ ở $D$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Gọi $E$ là giao điểm của $MD$ và $AH$. Chứng minh rằng $AD//CE$

Screenshot (1367).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#11 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 25-04-2021 - 19:40

$\boxed{8}$Cho điểm $M$ nằm trong góc $xOy$ nhọn ( góc $xOy$, $M$ cố định ). Dựng tia $Oz$ sao cho $\widehat{MOz} = \widehat{xOy}$ (tia $Ox$ nằm giữa hai tia $Oy$ và $Oz$), lấy điểm $N$ sao cho $OM=ON$. Gọi $T$ là trung điểm của $OM$ và $Q$ thuộc cạnh $MN$ sao cho $MQ=3NQ$. Đường thẳng $TQ$ cắt tia $Oz$ tại $C$.                               

a) Chứng minh rằng: O$C = 3CN$

b) Hai điểm $A$ và $B$ lần lượt di dộng trên các tia $Ox$ và $Oy$ sao cho $2OA = 3OB$ ($ A, B$ khác $O$ )

   Xác định vị trí điểm $A$ sao cho $2MA + 3MB$ nhỏ nhất 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#12 Thanh Long Nguyen

Thanh Long Nguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 25-04-2021 - 23:01

7. Dễ chứng minh ∆DAC cân tại C, ∆AHB đồng dạng ∆CAB, ∆AHC đồng dạng ∆BAC.
Xét ∆AHB có M,D,E thẳng hàng, suy ra DH/DB×EA/EH×MA/MB=1 mà MA/MB=1 do M là trung điểm AB nên BD/DH=EH/EA (1)
Theo tc đường phân giác ta có BD/DH=AB/AH mà ∆AHB đồng dạng ∆CAB, ∆AHC đồng dạng ∆BAC nên BD/DH=AB/AH=CB/AC=HC/AC suy ra BD/DH=HC/DC (∆DAC cân tại C)(2)
Từ (1) và (2) suy ra EH/EA=HC/DC suy ra AD//CE (Thales đảo)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Long Nguyen: 25-04-2021 - 23:01


#13 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN

Đã gửi 25-04-2021 - 23:11

$\boxed{6}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.

 

Mình lấy hình vẽ của bạn luôn 

Gọi MH cắt AB tại X. BH cắt AC tại Y.

Ta có $MI.IK=MI^2-MK.MI=MI^2-MH.MX=MI^2-MA.MY=MI^2-(MI^2-IA^2)=IA^2$ không đổi.

post-182402-0-73512200-1619350800.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 26-04-2021 - 10:45


#14 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 26-04-2021 - 10:56

Mình lấy hình vẽ của bạn luôn 

Gọi MH cắt AB tại X. BH cắt AC tại Y.

Ta có $MI.IK=MI^2-MK.MI=MI^2-MH.MX=MI^2-MA.MY=MI^2-(MI^2-IA^2)=IA^2$ không đổi.

post-182402-0-73512200-1619350800.png

Bài này bạn làm ghi nhầm đoạn đầu và mình đã fix (xanh) còn phần in đậm màu đỏ hình như bạn làm hơi nhanh, nếu không phiền bạn có thể làm cụ thể được không?

Sau đây là lời giải của mình:

Screenshot (1366).png

Gọi $L$ là giao điểm của $HK$ và $MG$ ($AG$ là đường cao)

Xét tam giác $MHL$ có hai đường cao $MK$ và $HG$ cắt nhau nên $\widehat{HGK}=\widehat{HMK}$

Mặt khác ta dễ có: $\widehat{AGI}=\widehat{IAG}=\widehat{HMB}$

Từ đó suy ra $\widehat{IMG}=\widehat{IGK}$

Do đó $\Delta IMG\sim\Delta IGK\Leftrightarrow \frac{IM}{IG}=\frac{IG}{IK}\Rightarrow IM.IK=IG^2=IA^2$ (không đổi)

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#15 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 26-04-2021 - 11:16

$\boxed{9}$Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$, $M$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AM=3MD$. Trên $CD$ lấy điểm $I$ sao cho $\widehat{ABM}=\widehat{MBI}$. Kẻ tia phân giác của $\widehat{IBC}$ cắt $CD$ ở $N$. Tính diện tích tam giác $BMN$ theo $a$.

Screenshot (1369).png

P/s: Bài này có thể tổng quát $M$ là điểm bất kì trên $AD$.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#16 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 26-04-2021 - 11:27

$\boxed{10}$Cho hình thoi $ABCD$, $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. $M$ là trung điểm của $BC$, $DM$ cắt $AC$ tại $E$. Trên $DE$ lấy điểm $F$ sao cho $\widehat{MFC}=\widehat{BDC}$. Chứng minh rằng: $\widehat{AFE}=2\widehat{ABD}$.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#17 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 26-04-2021 - 17:42

Như vậy, bài này đã được giải ở $\boxed{Problem 36}$: https://diendantoanh...-c-điểm-n-thay/

Tiếp tục:

$\boxed{4}$Trên cạnh $AC,BC$ của $\Delta ABC$ theo thứ tự lấy các điểm $M,K$, trên đoạn $MK$ lấy $P$ sao cho $\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$. Tính diện tích $\Delta ABC$ theo diện tích tam giác $AMP$ và $BKP$.

Lời giải bài $\boxed{4}$:

Đặt $\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}=k$ và $S_{AMP}=S_1;S_{BPK}=S_2;S_{MPC}=S'_1;S_{KPC}=S'_2$

Khi đó $\frac{S_1}{S'_1}=\frac{S'_1}{S'_2}=\frac{S'_2}{S_2}=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix}S_1=k^3S_2 & \\ S'_1+S'_2=k(k+1)S_2 & \end{matrix}\right.$

Xét hai tam giác $KCM$ và $ACB$ có góc $C$ chung nên $\frac{S_{KMC}}{S_{ACB}}=\frac{CK.CM}{CB.CA}=\frac{k}{k+1}.\frac{1}{k+1}=\frac{k}{(k+1)^2}$ hay $\frac{S'_1+S'_2}{S_{ACB}}=\frac{k}{(k+1)^2}\Rightarrow S_{ACB}=\frac{(k+1)^2}{k}.k(k+1)S_2=(k+1)^3S_2=(\frac{\sqrt[3]{S_1}}{\sqrt[3]{S_2}}+1)^3S_2=(\frac{\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_2}})^3S_2=(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2})^3$

Vậy $S_{ABC}=(\sqrt[3]{S_{AMP}}+\sqrt[3]{S_{BKP}})^3$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#18 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 26-04-2021 - 19:33

Lời giải bài $\boxed{8}$

a) Xét bộ ba điểm $T,Q,C$ thẳng hàng của $\Delta OMN$ nên theo định lý Mê-nê-la-uýt, ta có: $\frac{MQ}{NQ}.\frac{NC}{OC}.\frac{OT}{MT}=1$ hay $3.\frac{NC}{OC}.1=1\Rightarrow OC=3CN(Q.E.D)$ 

b) Trên tia $Oz$ lấy điểm $K$ sao cho $\frac{OM}{OK}=\frac{2}{3}$

Từ đó suy ra $\Delta BOM\sim\Delta AOK\Rightarrow \frac{BM}{AK}=\frac{BO}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3MB=2AK$

Do vậy $2MA+3MB=2(MA+AK)\geqslant 2MK$

Do $M$ và góc $xOy$ cố định nên $K$ cố định do đó $MK$ cố định

Vậy $2MA+3MB$ nhỏ nhất khi $A$ là giao điểm của $M$ và $K$.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#19 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 26-04-2021 - 20:29

$\boxed{11}$Cho góc $xOy$ khác góc bẹt: $A,B$ lần lượt di động trên các tia $Ox,Oy$ sao cho $OA-OB=a(a>0)$(a không đổi). Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $OAB$. Đường thẳng $d$ qua $G$ và vuông góc với $AB$. Chứng minh $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Screenshot (1371).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#20 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 27-04-2021 - 06:06

$\boxed{12}$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Các đường phân giác $BD,CE$ cắt nhau tại $H$. $AH$ cắt $DE$ tại $K$. Qua $K$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng: $MN\geqslant \frac{AB+AC}{2+\sqrt{2}}$

Screenshot (1382).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 27-04-2021 - 06:11

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh