Chủ đề này có 101 trả lời

[KietLW9]

$\boxed{18}$Cho tứ giác $ABCD$. Biết rằng $AB.CD=AD.BC$. Chứng minh rằng: $\widehat{ABD}+\widehat{ACB}=\widehat{ACD}+\widehat{ADB}$

Lời giải bài $\boxed{18}$:

Trên nửa mặt phẳng bờ $AD$ không chứa $C$ dựng điểm $E$ sao cho $\widehat{DAE}=\widehat{BAC},\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \Delta ADE\sim\Delta ABC(g.g)\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},\widehat{AED}=\widehat{ACB}$

Suy ra $\Delta ACE\sim\Delta ABD(c.g.c)\Rightarrow \widehat{ACE}=\widehat{ABD},\widehat{AEC}=\widehat{ADB}$

Ta có: $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow DE=CD\Rightarrow \widehat{DCE}=\widehat{DEC}$

Vậy $\widehat{ABD}+\widehat{ACB}=\widehat{ACE}+\widehat{AED}=\widehat{ACD}-\widehat{DCE}+\widehat{AEC}+\widehat{DEC}=\widehat{ACD}+\widehat{AEC}=\widehat{ACD}+\widehat{ADB}$

[KietLW9]

$\boxed{22}$Cho hình thoi $ABCD$. Giả sử tồn tại điểm $I$ trên $AB$ . Tia $DI$ cắt $CB$ tại $E$. Đường thẳng $CI$ cắt $AE$ tại $M$ và có $DE$ vuông góc với $BM$.Chứng minh $ABCD$ là hình vuông.

[KietLW9]

$\boxed{23}$Cho $\Delta ABC(AB<AC)$ có trung tuyến $AM$, đường cao AH. Biết $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$. Chứng minh rằng: $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ 

[KietLW9]

$\boxed{16}$Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC$ và $AD$. Gọi $K$ là điểm bất kì trên đoạn $CD$. Gọi $P$ và $Q$ là các điểm đối xứng của $K$ qua $M$ và $N$. $I$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. $G$ là giao điểm của $PN$ và $QM$. Chứng minh rằng $K,I,G$ thẳng hàng.

Screenshot (1384).png

Lời giải bài $\boxed{16}$:

Gọi $I'$ là giao điểm của $MN$ với $KG$,$H$ là giao điểm của $KG$ với $PQ$

Dễ chứng minh $G$ là trọng tâm của tam giác $KPQ$ nên $H$ là trung điểm của $PQ$

Mà $MN//PQ$ nên $I'$ là trung điểm của $MN$

Dễ thấy tứ giác $ANCM$ là hình bình hành có $I'$ là trung điểm của $MN$ nên $I'$ cũng là trung điểm của $AC$ từ đó dễ suy ra I' là giao điểm hai đường chéo hình bình hành $ABCD$ nên $I$ trùng $I'$ 

Vậy $K,I,G$ thẳng hàng.

[dangcongsanvietnam]

 

$\boxed{23}$Cho $\Delta ABC(AB<AC)$ có trung tuyến $AM$, đường cao AH. Biết $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$. Chứng minh rằng: $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ 

 

cái này là bài toán đường đẳng giác thôi

xét góc BAH và góc CAM có AH và AM nằm trong góc BAC => AH và AM là 2 đường đẳng giác ở góc BAC 

Mà AH là đường cao => AM đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Lại có AM căt BC tại trung điểm M => M trùng với tâm ngoại tiếp tam giác ABC => tgiác ABC là tam giác vuông 

 ps: anh là hs lớp 9 nhg nếu cần xem mấy bài đẳng giác thì lên mạng https://drive.google...WR1azZsOWM/view

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangcongsanvietnam: 01-05-2021 - 07:15

[KietLW9]

cái này là bài toán đường đẳng giác thôi

xét góc BAH và góc CAM có AH và AM nằm trong góc BAC => AH và AM là 2 đường đẳng giác ở góc BAC 

Mà AH là đường cao => AM đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Lại có AM căt BC tại trung điểm M => M trùng với tâm ngoại tiếp tam giác ABC => tgiác ABC là tam giác vuông 

 ps: anh là hs lớp 9 nhg nếu cần xem mấy bài đẳng giác thì lên mạng https://drive.google...WR1azZsOWM/view

Đây là TOPIC hình 8 nên mọi bài đều phải giải bằng kiến thức lớp 8 và bài này cũng không ngoại lệ! Nếu anh có lời giải lớp 8 thì có thể đăng lên để mọi người cùng tham khảo!

[dangcongsanvietnam]

chứng minh bằng phản chứng chắc đc 

 GS AM và AH là trung tuyến và đc 

 Cần cm 2 góc ấy bằng nhau 

 có góc HAB = BCA = BAM ( tam giác HAB và ABC đồng dạng và tam giác AMC cân tại M) thì 2 góc ấy bằng nhau

 

Đây là TOPIC hình 8 nên mọi bài đều phải giải bằng kiến thức lớp 8 và bài này cũng không ngoại lệ! Nếu anh có lời giải lớp 8 thì có thể đăng lên để mọi người cùng tham khảo!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangcongsanvietnam: 01-05-2021 - 08:06

[KietLW9]

chứng minh bằng phản chứng chắc đc 

 GS AM và AH là trung tuyến và đc 

 Cần cm 2 góc ấy bằng nhau 

 có góc HAB = BCA = BAM ( tam giác HAB và ABC đồng dạng và tam giác AMC cân tại M) thì 2 góc ấy bằng nhau

Đề đâu có cho tam giác $ABC$ vuông đâu anh?

[KietLW9]

 

$\boxed{23}$Cho $\Delta ABC(AB<AC)$ có trung tuyến $AM$, đường cao AH. Biết $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$. Chứng minh rằng: $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ 

 

Ok, và đây là lời giải bài $\boxed{23}$:

Gọi $F$ là trung điểm của $AB$ khi đó dễ có tam giác $AFH$ cân tại $F$$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{FHG}$

Mặt khác: $\widehat{AMG}=\widehat{CAM}(FM//AC,slt)$ mà $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$ (gt) nên $\widehat{FHG}=\widehat{AMG}$

Do đó $\Delta FHG\sim\Delta AMG\Rightarrow \frac{FG}{AG}=\frac{GH}{GM}\Rightarrow \frac{FG}{GH}=\frac{AG}{GM}$

Suy ra $\Delta FGA\sim\Delta HGM\Rightarrow \widehat{AFG}=\widehat{MHG}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BFM}=90^{\circ}$ nên $\widehat{BAC}=90^{\circ}$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 01-05-2021 - 15:32

[KietLW9]

$\boxed{22}$Cho hình thoi $ABCD$. Giả sử tồn tại điểm $I$ trên $AB$ . Tia $DI$ cắt $CB$ tại $E$. Đường thẳng $CI$ cắt $AE$ tại $M$ và có $DE$ vuông góc với $BM$.Chứng minh $ABCD$ là hình vuông.

Lời giải bài $\boxed{22}$:

Gọi $K$ là giao điểm của $BM$ và $AD$, $S$ là giao điểm của $CM$ và $AD$

Theo định lý Thales, ta có:$\frac{SI}{IC}=\frac{DI}{IE}=\frac{BC}{EB}=\frac{SK}{AK}\Rightarrow KI//AC$

Mà $AC$ vuông góc với $BD$ nên $KI$ vuông góc $BD$ mà $DE$ vuông góc với $BM$ nên $I$ là trực tâm của tam giác $KBD$ do đó $BA$ vuông góc $AD$

Vậy $ABCD$ là hình vuông (đpcm)

[KietLW9]

Bài tiếp theo:

$\boxed{24}$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Chứng minh: $AB^n+AC^n<AH^n+BC^n$

[dangcongsanvietnam]

sao anh nhớ là anh đọc bài này trên hoc24 với 1 người tên Kiệt Nguyễn ??? 

 

https://drive.google...IwD?usp=sharing

 bài này còn phần cm x+y<a+b thì x^n+y^n < a^n+b^n cái đó em tự cm đi 

[KietLW9]

 

https://drive.google...IwD?usp=sharing

 bài này còn phần cm x+y<a+b thì x^n+y^n < a^n+b^n cái đó em tự cm đi 

Hic, anh toàn gợi ý như này thì chết TOPIC của em rồi, anh phải chứng minh chứ!

[KietLW9]

$\boxed{20}$Điểm $K$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $AK^2=AB.AC-BK.KC$ khi và chỉ khi $AB=AC$ hoặc $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$

Lời giải bài $\boxed{20}$:

Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$

Trường hợp 1: Điểm $H$ nằm giữa $B$ và $K$

Xét $(AB-AC)(AB.CK-AC.BK)=0\Leftrightarrow AB^2.CK+AC^2.BK-AB.AC(BK+CK)=0\Leftrightarrow (AH^2+BH^2).CK+(AH^2+CH^2).BK=AB.AC.BC\Leftrightarrow AH^2.BC+(BK-HK)^2.CK+(CK+HK)^2.BK=AB.AC.BC\Leftrightarrow AH^2.BC+BK^2.CK+HK^2.CK+CK^2.BK+HK^2.BK=AB.AC.BC\Leftrightarrow AH^2.BC+HK^2.BC+BK.CK.BC=AB.AC.BC\Leftrightarrow AH^2+HK^2+BK.CK=AB.AC\Leftrightarrow AK^2=AB.AC-BK.CK$

Như vậy ta có: $(AB-AC)(AB.CK-AC.BK)=0\Leftrightarrow AK^2=AB.AC-BK.CK$

Trường hợp 2: Điểm $H$ nằm giữa $C$ và $K$ tương tự.

Ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 02-05-2021 - 14:42

[KietLW9]

$\boxed{24}$Cho một đa giác lồi, biết rằng không thể đặt trong đa giác này một tam giác nào có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng có thể đặt đa giác này trong một tam giác có diện tích bằng 4.

[KietLW9]

$\boxed{25}$Cho tam giác $ABC$. Đường thẳng $d$ quay quanh $A$ và $d$ không cắt $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $d$. Xác định vị trí của đường thẳng $d$ để chu vi $BDEC$ lớn nhất.

[KietLW9]

$\boxed{26}$ Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đường phân giác, M là điểm trên tia đối của tia ED. Vẽ MI vuông góc với BC tại I, MK vuông góc với AC tại K, ML vuông góc với AB tại L. Chứng minh rằng MK=MI+ML

[KietLW9]

$\boxed{27}$Trong các tứ giác với hai đường chéo có độ dài đã cho và góc giữa hai đường chéo có độ lớn đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.

[KietLW9]

$\boxed{28}$ Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. $M$ là trung điểm của $AC$, trên $BM$ lấy $N$ sao cho $AM=MN$. $CN$ cắt $AB$ tại $E$ Chứng minh rằng: $BN=AE$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 02-05-2021 - 19:03

[Hoang72]

$\boxed{24}$Cho một đa giác lồi, biết rằng không thể đặt trong đa giác này một tam giác nào có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng có thể đặt đa giác này trong một tam giác có diện tích bằng 4.

Chọn ba đỉnh phân biệt của đa giác đó sao cho diện tích tam giác tạo bởi ba điểm đó là lớn nhất. Giả sử ba điểm đó là A, B, C.

Qua A, B, C vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện của tam giác, chúng cắt nhau tại D, E, F như hình vẽ.

Giả sử tồn tại điểm G là đỉnh của đa giác nằm ngoài tam giác DEF. Không mất tính tổng quát, giả sử G nằm trên nửa mặt phẳng bờ EF không chứa tam giác ABC. 

Khi đó đường cao hạ từ G xuống BC lớn hơn đường cao hạ từ A xuống BC. Do đó $S_{GBC}>S_{ABC}$, trái với cách chọn tam giác ABC.

Do đó mọi điểm thuộc đa giác đều nằm trên hoặc trong tam giác DEF.

Mặt khác do đa giác đó lồi nên tam giác ABC nằm trong đa giác đó. Suy ra $S_{ABC}<1$ nên $S_{DEF}<4$.

Vậy tồn tại một tam giác có diện tích bằng 4 chứa đa giác đã cho.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 02-05-2021 - 20:11