Chủ đề này có 4 trả lời

[NguyenMinhTri]

Mọi người có thể giúp mình bài tập này được không ạ? Mình cảm ơn!

 

1) Cho a,b,c > 0, ab+bc+ca=1.

 

Chứng minh:

$a\sqrt{b^{2}+1} + b\sqrt{c^{2}+1} + c\sqrt{a^{2}+1} \geq 2$

 

2) Cho x, y, z >0, x+y+z=1.

 

Chứng minh:

$\frac{\sqrt{xy+z} + \sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}} \geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenMinhTri: 24-04-2021 - 18:50

[ChiMiwhh]

1) Cho a,b,c > 0, ab+bc+ca=1.

Chứng minh:

$a\sqrt{b^{2}+1} + b\sqrt{c^{2}+1} + c\sqrt{a^{2}+1} \geq 2$

Áp dụng Minskowski

Ta có $\sum_{cyc} a\sqrt{b^2+1}=\sum_{cyc} \sqrt{a^2b^2+a^2}\geq \sqrt{(ab+bc+ac)^2+(a+b+c)^2}\geq \sqrt{1+3}=2$

Xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

p.s: oh shit mình nhầm 1 xíu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 24-04-2021 - 19:48

[ChiMiwhh]

2) Cho x, y, z >0, x+y+z=1.

Chứng minh:

$\frac{\sqrt{xy+z} + \sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}} \geq 1$

Simple cosi

Đánh giá như sau

$xy+z=(z+x)(z+y)\geq (z+\sqrt{xy})^2$

$2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$

Phần tiếp theo là của bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 24-04-2021 - 19:41

[NguyenMinhTri]

Áp dụng Minskowski

Ta có $\sum_{cyc} a\sqrt{b^2+1}=\sum_{cyc} \sqrt{a^2b^2+a^2}\geq \sqrt{(ab+bc+ac)^2+(a+b+c)^2}\geq \sqrt{1+3}=2$

Xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

p.s: oh shit mình nhầm 1 xíu

Anh cho em hỏi bất đẳng thức Minkowski là gì ạ? Em cảm ơn!

[ChiMiwhh]

Anh cho em hỏi bất đẳng thức Minkowski là gì ạ? Em cảm ơn!

Google is the best

Hình nhu trên VMF cũng có 1 bài nói về nó rồi, e tìm đi