Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $a\sqrt{b^{2}+1} + b\sqrt{c^{2}+1} + c\sqrt{a^{2}+1} \geq 2$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 NguyenMinhTri

NguyenMinhTri

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Cầu Giấy, Hà Nội
  • Sở thích:Toán học, Tin học, Đọc sách, Chơi bóng, Đá cầu,...

Đã gửi 24-04-2021 - 18:37

Mọi người có thể giúp mình bài tập này được không ạ? Mình cảm ơn!

 

1) Cho a,b,c > 0, ab+bc+ca=1.

 

Chứng minh:

$a\sqrt{b^{2}+1} + b\sqrt{c^{2}+1} + c\sqrt{a^{2}+1} \geq 2$

 

2) Cho x, y, z >0, x+y+z=1.

 

Chứng minh:

$\frac{\sqrt{xy+z} + \sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}} \geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenMinhTri: 24-04-2021 - 18:50


#2 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 24-04-2021 - 19:38

1) Cho a,b,c > 0, ab+bc+ca=1.

Chứng minh:

$a\sqrt{b^{2}+1} + b\sqrt{c^{2}+1} + c\sqrt{a^{2}+1} \geq 2$

Áp dụng Minskowski

Ta có $\sum_{cyc} a\sqrt{b^2+1}=\sum_{cyc} \sqrt{a^2b^2+a^2}\geq \sqrt{(ab+bc+ac)^2+(a+b+c)^2}\geq \sqrt{1+3}=2$

Xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

p.s: oh shit mình nhầm 1 xíu :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 24-04-2021 - 19:48


#3 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 24-04-2021 - 19:41

2) Cho x, y, z >0, x+y+z=1.

Chứng minh:

$\frac{\sqrt{xy+z} + \sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}} \geq 1$

Simple cosi

Đánh giá như sau

$xy+z=(z+x)(z+y)\geq (z+\sqrt{xy})^2$

$2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$

Phần tiếp theo là của bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 24-04-2021 - 19:41


#4 NguyenMinhTri

NguyenMinhTri

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Cầu Giấy, Hà Nội
  • Sở thích:Toán học, Tin học, Đọc sách, Chơi bóng, Đá cầu,...

Đã gửi 25-04-2021 - 08:14

Áp dụng Minskowski

Ta có $\sum_{cyc} a\sqrt{b^2+1}=\sum_{cyc} \sqrt{a^2b^2+a^2}\geq \sqrt{(ab+bc+ac)^2+(a+b+c)^2}\geq \sqrt{1+3}=2$

Xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

p.s: oh shit mình nhầm 1 xíu :)

Anh cho em hỏi bất đẳng thức Minkowski là gì ạ? Em cảm ơn!



#5 ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Penspinning
    Inequality

Đã gửi 25-04-2021 - 08:26

Anh cho em hỏi bất đẳng thức Minkowski là gì ạ? Em cảm ơn!

Google is the best

Hình nhu trên VMF cũng có 1 bài nói về nó rồi, e tìm đi







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh